Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 20/latex

\setcounter{section}{20}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein Körper und sei \mathind { R_i \subseteq K } { i \in I }{,} eine Familie von \definitionsverweis {normalen}{}{} Unterringen. Zeige, dass auch der Durchschnitt $\bigcap_{i \in I} R_i$ normal ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass $R$ genau dann \definitionsverweis {normal}{}{} ist, wenn er mit seiner \definitionsverweis {Normalisierung}{}{} übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Es sei angenommen, dass die \definitionsverweis {Normalisierung}{}{} von $R$ gleich dem \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $Q(R)$ ist. Zeige, dass dann $R$ selbst schon ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{} und
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {.} Zeige, dass die Nenneraufnahme $R_f$ ebenfalls normal ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ \subseteq }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.} Zeige, dass dann auch die \definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{} $R_S$ normal ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein \definitionsverweis {torsionsfreies}{}{} Monoid. Zeige, dass dann auch die \definitionsverweis {Differenzengruppe}{}{} $\Gamma(M)$ torsionsfrei ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Torsionsfreiheit}{}{} von $M$ äquivalent zu folgender Eigenschaft ist: Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ rm }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für ein positives
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt stets
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige ferner, dass diese Äquivalenz für ein \definitionsverweis {Monoid}{}{} nicht gelten muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} mit \definitionsverweis {Normalisierung}{}{} $R ^{\operatorname{norm} }$. Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f} }
{ =} { { \left\{ g \in R \mid gR^{\operatorname{norm} } \subseteq R \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$ gegeben ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \subseteq }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {numerisches Monoid}{}{,} das von \definitionsverweis {teilerfremden}{}{} natürlichen Zahlen erzeugt werde. Zeige, dass für das \definitionsverweis {Führungsideal}{}{} des zugehörigen \definitionsverweis {Monoidrings}{}{} $K[M]$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f} }
{ =} { (M_{\geq f}) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} besteht, wobei $f$ die \definitionsverweis {Führungszahl}{}{} des Monoids bezeichnet.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{ S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {ganze Ringerweiterung}{}{.} Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass für das von $f$ erzeugte \definitionsverweis {Hauptideal}{}{} gilt:
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R \cap (f)S }
{ =} { (f)R }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass dann auch der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} $R[X]$ normal ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei vorausgesetzt, dass $a$ keine Quadratwurzel in $R$ besitzt. Zeige, dass das Polynom
\mathl{X^2-a}{} \definitionsverweis {prim}{}{} in $R[X]$ ist. Tipp: Verwende den \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $Q(R)$. Warnung: Prim muss hier nicht zu \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} äquivalent sein.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{ $R$ ist \definitionsverweis {normal}{}{.} }{Für jedes \definitionsverweis {Primideal}{}{} ${\mathfrak p}$ ist die \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{} $R_{\mathfrak p}$ normal. }{Für jedes \definitionsverweis {maximale Ideal}{}{} ${\mathfrak m}$ ist die Lokalisierung $R_{\mathfrak m}$ normal.}

}
{(Man sagt daher, dass normal eine \stichwort {lokale Eigenschaft} {} ist.)} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \subseteq }{ \Gamma(M) }
{ \cong }{ \Z^n }
{ = }{ M }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Monoid}{}{} und betrachte die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^* }
{ =} { { \left\{ \varphi:\Gamma(M) \longrightarrow \Z \mid \varphi(M) \subseteq \N \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass $M^*$ ein normales Untermonoid von
\mathl{\operatorname{Hom} { \left( \Z^n , \Z \right) }}{} ist.

}
{(Dieses Monoid nennt man das \stichwort {duale Monoid} {} zu $M$.)} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte Beispiel 20.11. Welchen Wert haben die drei Erzeuger unter den dort angegebenen Monoidhomomorphismen $\varphi_1,\varphi_2$ nach $\Z$, durch die das Monoid beschrieben werden kann. Bestimme den Kokern des Gruppenhomomorphismus \maabbeledisp {} {\Gamma(M) } { \Z^2 } { m } { (\varphi_1(m),\varphi_2(m)) } {.}

}
{(Diesen Kokern nennt man die \stichwort {Divisorenklassengruppe} {} des Monoidringes.)} {}