Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 21

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Sei ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper . Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen und gibt.


Aufgabe

Sei ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper . Charakterisiere die endlich erzeugten -Untermoduln von . Auf welche Form kann man ein Erzeugendensystem bringen?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise für einen diskreten Bewertungsring die Eigenschaften der Ordnung, die in Lemma 21.5 formuliert sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein diskreter Bewertungsring. Definiere zu einem Element , , die Ordnung

Dabei soll die Definition mit der Ordnung für Elemente aus übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper und der Körper der rationalen Funktionen über . Finde einen diskreten Bewertungsring mit und mit .


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper. Eine Potenzreihe in einer Variablen über ist ein formaler Ausdruck der Form

Es kann hier also unendlich viele von verschiedene Koeffizienten geben. Definiere eine Ringstruktur auf der Menge aller Potenzreihen, die die Ringstruktur auf dem Polynomring in einer Variablen fortsetzt. Zeige, dass dieser Ring ein diskreter Bewertungsring ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Integritätsbereich mit folgender Eigenschaft: zu je zwei Elementen gelte, dass ein Teiler von ist oder dass ein Teiler von ist. Es sei noethersch, aber kein Körper. Zeige, dass ein diskreter Bewertungsring ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass ein noetherscher abstrakter Bewertungsring schon diskret ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass in jedes Ideal durch maximal zwei Erzeuger gegeben ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer ebenen monomialen Kurve und eines Ideals im zugehörigen lokalen Ring der Singularität, das nicht von zwei Elementen erzeugt werden kann.




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