Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 22/latex

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\setcounter{section}{22}






\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {positiven Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme die Menge der Polynome
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \in }{ K[T] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit \definitionsverweis {formaler Ableitung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F' }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $K$ ein Körper und
\mathl{F \in K[X,Y]}{} ein nichtkonstantes Polynom mit einfachen Primfaktoren und mit zugehöriger ebener Kurve
\mathl{C=V(F)}{.} Zeige, dass $C$ nur endlich viele singuläre Punkte besitzt.

}
{} {}


\inputaufgabe
{}
{

Beweise Lemma 22.11.

}
{} {}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Cercle tangente rayon.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Cercle tangente rayon.svg } {} {} {Commons} {} {}





\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der Einheitskreis über einem Körper der Charakteristik $\neq 2$ glatt ist und bestimme für jeden Punkt die Gleichung der Tangente.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $K$ ein Körper.

a) Zeige, dass der Graph eines Polynoms
\mathl{F\in K[X]}{} eine glatte algebraische Kurve ist.

b) Seien
\mathl{F,G \in K[X]}{} Polynome ohne gemeinsame Nullstelle. Zeige, dass der Graph der rationalen Funktion $F/G$ ebenfalls eine glatte algebraische Kurve ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die singulären Punkte der ebenen algebraischen Kurve
\mathdisp {V { \left( -2X^3+3X^2Y-Y+ \frac{2}{3} \sqrt{\frac{1}{3} } \right) } \subset {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{C }
{ = }{ V(F) }
{ \subset }{ {\mathbb A}^{2}_{K} }
{ }{ }
} {}{}{} ein glatter Punkt einer ebenen irreduziblen Kurve. Zeige, dass der zugehörige lokale Ring ein diskreter Bewertungsring ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die in Beispiel 8.5 berechnete Trajektorie die Koordinaten der Punkte, wo die Kurve singulär ist.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $K$ ein Körper der Charakteristik
\mathl{p \geq 0}{.} Man charakterisiere die Polynome
\mathl{F\in K[X,Y]}{} mit der Eigenschaft, dass \aufzaehlungdrei{die erste partielle Ableitung, }{die zweite partielle Ableitung, }{beide partiellen Ableitungen } $0$ sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien
\mathl{G,H \in K[X,Y]}{} Polynome mit
\mathl{G(P)=H(P)=0}{} für einen bestimmten Punkt
\mathl{P \in {\mathbb A}^{2}_{K}}{.} Es sei
\mathl{F=GH}{.} Zeige, dass jede Tangente von $G$ in $P$ und jede Tangente von $H$ in $P$ auch eine Tangente von $F$ in $P$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Betrachte die Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} { V(x^3+5x^2y-6xy^2-x^2-xy+4y^2) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Bestimme die Tangenten im Nullpunkt. }{Zeige, dass
\mathl{P=(1,2)}{} ein Punkt der Kurve ist, und berechne die Tangente(n) von $C$ in $P$ über die Ableitung. }{Führe eine Variablentransformation durch derart, dass $P$ in den neuen Variablen der Nullpunkt ist, und bestimme die Tangente(n) in $P$ aus der transformierten Kurvengleichung. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die algebraische Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} { V { \left( 9y^4+10x^2y^2+x^4-12y^3-12x^2y+4y^2 \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Singularitäten sowie deren Multiplizitäten und Tangenten.

}
{\zusatzklammer {Vergleiche dazu Beispiel 8.5.} {} {}} {}



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