Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 22

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ein Körper der positiven Charakteristik . Bestimme die Menge der Polynome mit formaler Ableitung .


Aufgabe

Sei ein Körper und ein nichtkonstantes Polynom mit einfachen Primfaktoren und mit zugehöriger ebener Kurve . Zeige, dass nur endlich viele singuläre Punkte besitzt.

Aufgabe

Beweise Lemma 22.11.


Cercle tangente rayon.svg


Aufgabe

Zeige, dass der Einheitskreis über einem Körper der Charakteristik glatt ist und bestimme für jeden Punkt die Gleichung der Tangente.


Aufgabe

Sei ein Körper.

a) Zeige, dass der Graph eines Polynoms eine glatte algebraische Kurve ist.

b) Seien Polynome ohne gemeinsame Nullstelle. Zeige, dass der Graph der rationalen Funktion ebenfalls eine glatte algebraische Kurve ist.


Aufgabe *

Bestimme die singulären Punkte der ebenen algebraischen Kurve


Aufgabe *

Es sei ein glatter Punkt einer ebenen irreduziblen Kurve. Zeige, dass der zugehörige lokale Ring ein diskreter Bewertungsring ist.


Aufgabe

Bestimme für die in Beispiel 8.5 berechnete Trajektorie die Koordinaten der Punkte, wo die Kurve singulär ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Körper der Charakteristik . Man charakterisiere die Polynome mit der Eigenschaft, dass

  1. die erste partielle Ableitung,
  2. die zweite partielle Ableitung,
  3. beide partiellen Ableitungen

sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien Polynome mit für einen bestimmten Punkt . Es sei . Zeige, dass jede Tangente von in und jede Tangente von in auch eine Tangente von in ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Betrachte die Kurve

  1. Bestimme die Tangenten im Nullpunkt.
  2. Zeige, dass ein Punkt der Kurve ist, und berechne die Tangente(n) von in über die Ableitung.
  3. Führe eine Variablentransformation durch derart, dass in den neuen Variablen der Nullpunkt ist, und bestimme die Tangente(n) in aus der transformierten Kurvengleichung.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die algebraische Kurve

die Singularitäten sowie deren Multiplizitäten und Tangenten.

(Vergleiche dazu Beispiel 8.5.)



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