Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 22

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der positiven Charakteristik  ${}p>0$.  Bestimme die Menge der Polynome  ${}F\in K[T]$  mit formaler Ableitung  ${}F'=0$. 

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}F\in K[X,Y]$  ein nichtkonstantes Polynom mit einfachen Primfaktoren und mit zugehöriger ebener Kurve  ${}C=V(F)$.  Zeige, dass ${}C$ nur endlich viele singuläre Punkte besitzt.

Aufgabe *

Beweise Lemma 22.11.

Aufgabe *

Zeige, dass der Einheitskreis über einem Körper der Charakteristik ${}\neq 2$ glatt ist und bestimme für jeden Punkt die Gleichung der Tangente.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper.

a) Zeige, dass der Graph eines Polynoms  ${}F\in K[X]$  eine glatte algebraische Kurve ist.

b) Es seien  ${}F,G\in K[X]$  Polynome ohne gemeinsame Nullstelle. Zeige, dass der Graph der rationalen Funktion ${}F/G$ ebenfalls eine glatte algebraische Kurve ist.

Aufgabe *

Bestimme die singulären Punkte der ebenen algebraischen Kurve

${}V{\left(-2X^{3}+3X^{2}Y-Y+{\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {1}{3}}}\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\,.$

Aufgabe

Bestimme für die in Beispiel 8.5 berechnete Trajektorie die Koordinaten der Punkte, wo die Kurve singulär ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik  ${}p\geq 0$.  Man charakterisiere die Polynome  ${}F\in K[X,Y]$  mit der Eigenschaft, dass

1. die erste partielle Ableitung,
2. die zweite partielle Ableitung,
3. beide partiellen Ableitungen

${}0$ sind.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien  ${}G,H\in K[X,Y]$  Polynome mit  ${}G(P)=H(P)=0$  für einen bestimmten Punkt  ${}P\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}$.  Es sei  ${}F=GH$.  Zeige, dass jede Tangente von ${}G$ in ${}P$ und jede Tangente von ${}H$ in ${}P$ auch eine Tangente von ${}F$ in ${}P$ ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Betrachte die Kurve

${}C=V(x^{3}+5x^{2}y-6xy^{2}-x^{2}-xy+4y^{2})\,.$

a) Bestimme die Tangenten im Nullpunkt.

b) Zeige, dass

${}P=(1,2)\,$

ein Punkt der Kurve ist, und berechne die Tangente(n) von ${}C$ in ${}P$ über die Ableitung.

c) Führe eine Variablentransformation derart durch, dass ${}P$ in den neuen Variablen der Nullpunkt ist, und bestimme die Tangente(n) in ${}P$ aus der transformierten Kurvengleichung.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die algebraische Kurve

${}C=V{\left(9y^{4}+10x^{2}y^{2}+x^{4}-12y^{3}-12x^{2}y+4y^{2}\right)}\,$

die Singularitäten sowie deren Multiplizitäten und Tangenten.

(Vergleiche dazu Beispiel 8.5.)