Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 22

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der positiven Charakteristik ${}p>0$. Bestimme die Menge der Polynome ${}F\in K[T]$ mit formaler Ableitung ${}F'=0$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}F\in K[X,Y]$ ein nichtkonstantes Polynom mit einfachen Primfaktoren und mit zugehöriger ebener Kurve ${}C=V(F)$. Zeige, dass ${}C$ nur endlich viele singuläre Punkte besitzt.

Aufgabe

Beweise Lemma 22.11.

Aufgabe

Zeige, dass der Einheitskreis über einem Körper der Charakteristik ${}\neq 2$ glatt ist und bestimme für jeden Punkt die Gleichung der Tangente.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper.

a) Zeige, dass der Graph eines Polynoms ${}F\in K[X]$ eine glatte algebraische Kurve ist.

b) Es seien ${}F,G\in K[X]$ Polynome ohne gemeinsame Nullstelle. Zeige, dass der Graph der rationalen Funktion ${}F/G$ ebenfalls eine glatte algebraische Kurve ist.

Aufgabe *

Bestimme die singulären Punkte der ebenen algebraischen Kurve

$V{\left(-2X^{3}+3X^{2}Y-Y+{\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {1}{3}}}\right)}\subset {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}.$

Aufgabe

Bestimme für die in Beispiel 8.5 berechnete Trajektorie die Koordinaten der Punkte, wo die Kurve singulär ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}p\geq 0$. Man charakterisiere die Polynome ${}F\in K[X,Y]$ mit der Eigenschaft, dass

1. die erste partielle Ableitung,
2. die zweite partielle Ableitung,
3. beide partiellen Ableitungen

${}0$ sind.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}G,H\in K[X,Y]$ Polynome mit ${}G(P)=H(P)=0$ für einen bestimmten Punkt ${}P\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}$. Es sei ${}F=GH$. Zeige, dass jede Tangente von ${}G$ in ${}P$ und jede Tangente von ${}H$ in ${}P$ auch eine Tangente von ${}F$ in ${}P$ ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Betrachte die Kurve

${}C=V(x^{3}+5x^{2}y-6xy^{2}-x^{2}-xy+4y^{2})\,.$

1. Bestimme die Tangenten im Nullpunkt.
2. Zeige, dass ${}P=(1,2)$ ein Punkt der Kurve ist, und berechne die Tangente(n) von ${}C$ in ${}P$ über die Ableitung.
3. Führe eine Variablentransformation durch derart, dass ${}P$ in den neuen Variablen der Nullpunkt ist, und bestimme die Tangente(n) in ${}P$ aus der transformierten Kurvengleichung.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die algebraische Kurve

${}C=V{\left(9y^{4}+10x^{2}y^{2}+x^{4}-12y^{3}-12x^{2}y+4y^{2}\right)}\,$

die Singularitäten sowie deren Multiplizitäten und Tangenten.

(Vergleiche dazu Beispiel 8.5.)