Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 25/latex

\setcounter{section}{25}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme für die ebene algebraische Kurve
\mathdisp {V { \left( X^3+Y^2-XY+X \right) }} { }
eine nichtkonstante Potenzreihenlösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X }
{ = }{ F(Y) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} im Nullpunkt bis zum sechsten Glied.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme für die \definitionsverweis {ebene algebraische Kurve}{}{}
\mathdisp {V(X^2Y+X^2+Y^2-5XY+Y)} { }
eine nicht-konstante Potenzreihenlösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ = }{ F(X) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} im Nullpunkt bis zur fünften Ordnung.

}
{} {}

Die folgenden Aufgaben beschäftigen sich mit der Komplettierung eines lokalen Ringes.


\inputaufgabe
{}
{

Betrachte zu einem \definitionsverweis {lokalen Ring}{}{} $R$ mit \definitionsverweis {maximalem Ideal}{}{} ${\mathfrak m}$ das Diagramm
\mathdisp {\longrightarrow R/{\mathfrak m}^4 \longrightarrow R/{\mathfrak m}^3 \longrightarrow R/{\mathfrak m}^2 \longrightarrow R/{\mathfrak m}} { . }
Dabei sind die Abbildungen die kanonischen Projektionen \maabb {\varphi_{n}} { R/{\mathfrak m}^{n+1} } { R/{\mathfrak m}^n } {,} die durch die Idealinklusionen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}^{n+1} }
{ \subseteq }{ {\mathfrak m}^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} induziert werden. Eine Folge von Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_n }
{ \in }{ R/{\mathfrak m}^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt \stichwort {verträglich} {,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_n(a_{n+1}) }
{ = }{ a_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle $n$ gilt. Definiere eine Ringstruktur auf der Menge aller verträglichen Elemente \zusatzklammer {diesen Ring nennt man die
\definitionswortenp{Komplettierung}{} von $R$} {} {.} Zeige ferner, dass es einen kanonischen Ringhomomorphismus von $R$ in die Komplettierung gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein eindimensionaler lokaler noetherscher kommutativer Ring. Zeige, dass die kanonische Abbildung von $R$ in die Komplettierung von $R$ injektiv ist.

}
{Bemerkung: Die Injektivität gilt für jeden noetherschen lokalen Ring, ist aber schwieriger zu beweisen.} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $I$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{.} Zeige, dass durch
\mathdisp {\{x + I^n \, \vert \, n \in \N \} \quad (x \in R)} { }
Umgebungsbasen definiert werden. Zeigen Sie außerdem, dass die auf $R$ induzierte Topologie genau dann hausdorffsch ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \bigcap_n I^n }
{ = }{ \{0\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{Bemerkung: Die Komplettierung eines lokalen Ringes bezüglich seines maximalen Ideals entspricht dann genau der (topologischen) Komplettierung bezüglich dieser Topologie.} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die Kardioide
\mathdisp {V((X^2+Y^2)^2- 2X(X^2+Y^2)-Y^2)} { }
im Punkt $(2,0)$. Bestimme eine formale Parametrisierung (bis zum fünften Term) der Kurve in diesem Punkt in Abhängigkeit von einem Tangentenparameter.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte den Einheitskreis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^2+Y^2 }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} im Punkt $(1,0)$. Bestimme Potenzreihen $G$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H }
{ \in }{ K [ \![ T ]\! ] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit den Anfangsbedingungen
\mathl{a_0=1,\, a_1=0,\, b_0=0,\, b_1=1}{} und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G(T)^2+H(T)^2 }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die Neilsche Parabel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C }
{ = }{ V(Y^3-X^2) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} im Punkt $(1,1)$. Finde eine Parametrisierung der Kurve in diesem Punkt mit Potenzreihen \zusatzklammer {bis zum fünften Glied} {} {} derart, dass eine Potenzreihe davon ein lineares Polynom ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Eine
\definitionswortenp{formale Laurentreihe mit endlichem Hauptteil}{} ist eine unendliche Summe der Form
\mathdisp {F= \sum_{n=k}^\infty a_n T^n \text{ mit } a_n \in K \text{ und } k \in \Z} { . }
Zeige, dass der Ring dieser formalen Reihen \zusatzklammer {mit geeigneten Ringoperationen} {} {} isomorph zum \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} des \definitionsverweis {Potenzreihenringes}{}{}
\mathl{K [ \![ T ]\! ]}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $K[T]$ der \definitionsverweis {Polynomring in einer Variablen}{}{.} Es sei $R$ die \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{} von $K[T]$ am \definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m} }
{ = }{ (T) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Komplettierung}{}{} von $R$ isomorph zum \definitionsverweis {Potenzreihenring}{}{} $K [ \![ T]\! ]$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ = }{ K [ \![ T ]\! ] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Potenzreihenring}{}{} Zeige, dass es in $R$ keine Quadratwurzel für $T$ gibt. Zeige ferner, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ = }{ \Z/( 7 ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das Element
\mathl{T+2}{} eine Quadratwurzel in $R$ besitzt, und bestimme die ersten fünf Koeffizienten von einer Quadratwurzel davon.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ \in }{ K[X,Y] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein irreduzibles Polynom und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ = }{ K[X,Y]/(F) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der integre Koordinatenring der ebenen Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C }
{ = }{ V(F) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mathl{R \rightarrow S = R ^{\operatorname{norm} }}{} die Normalisierung von $R$ und es sei
\mathl{R \rightarrow K [ \![ T]\! ]}{} der Ringhomomorphismus zu einer nichtkonstanten formalen Potenzreihenlösung der Kurve. Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
\mathl{S \rightarrow K [ \![ T]\! ]}{} gibt derart, dass das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} R & \stackrel{ }{\longrightarrow} & S & \\ & \searrow & \downarrow & \\ & & K [ \![ T]\! ] & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
kommutiert.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgabe zum Hochladen}

\inputaufgabe
{}
{

Zeichne mittels eines geeigneten Programms eine der Beispielkurven der Vorlesung sowie die verschiedenen dort berechneten polynomialen Approximationen.

}
{} {}