Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 24
- Aufwärmaufgaben
Beschreibe ein Beispiel einer glatten Kurve mit einer Parametrisierung, deren Differential an mindestens einem Punkt verschwindet.
Betrachte das Achsenkreuz und den zum Nullpunkt gehörigen lokalen Ring mit maximalem Ideal . Beschreibe explizit eine -Basis für die Restklassenringe und bestimme die Dimensionen davon.
Es sei ein Körper und der Potenzreihenring. Man gebe die inverse Potenzreihe zu an.
![{\displaystyle {}K[\![T]\!]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e991063a4560ec3010bd77a40fcccdae80316b7)
Es sei ein Körper, das zum Nullpunkt gehörige maximale Ideal mit der Lokalisierung . Definiere einen - Algebrahomomorphismus
![{\displaystyle {}{\mathfrak {m}}=(T)\subset K[T]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a76ebdc6c7b150b8a11efd6e04ba6176392d918b)
![{\displaystyle {}R=K[T]_{\mathfrak {m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ddb083d4350f05bfa3166df998ed7ce9f1f0622)
![{\displaystyle \varphi \colon R\longrightarrow K[\![T]\!]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3effa8accf3e6d588d8c6a49bba5f84bdb25d9a)
mit , wobei den Ring der formalen Potenzreihen bezeichnet.
Berechne die ersten fünf Glieder (bis einschließlich ) der eingesetzten Potenzreihe im Sinne von Definition 24.9.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (5 Punkte)
Man gebe ein Beispiel für ein irreduzibles reelles Polynom derart, dass beide partiellen Ableitungen übereinstimmen und nicht konstant sind. Zeige, dass dies über nicht möglich ist.
![{\displaystyle {}F\in \mathbb {R} [X,Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/193c8fef29f5cb4c3d8edfe24357e54cc89e0236)
Aufgabe (3 Punkte)
Betrachte die Kurve mit der in Beispiel 24.3 besprochenen Parametrisierung. Bestimme die singulären Punkte der Kurve zusammen mit den Multiplizitäten und Tangenten. Berechne ebenfalls die Bildpunkte und die Tangenten für die Parameterwerte .
Aufgabe (3 Punkte)
Beschreibe eine formale Potenzreihe über , die in keiner Umgebung des Nullpunktes konvergiert.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein Körper. Vergleiche die beiden Ringe und .
![{\displaystyle {}(K[X])[\![Y]\!]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccbd6a84dad043daaa42bf930527c0a07da4d8da)
![{\displaystyle {}(K[\![Y]\!])[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5471cd569088a41efc8c21a971c65e89bdde70e)
Aufgabe (6 Punkte)
Es sei ein noetherscher kommutativer Ring. Man zeige, dass noethersch ist.
![{\displaystyle {}R[[T_{1},\ldots ,T_{n}]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b77fbcfeb64df835c9de49d8aa9c08171e11378e)
Hinweis: Lassen Sie sich vom Beweis des Hilbertschen Basissatzes inspirieren!
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