Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 5/latex

\setcounter{section}{5}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{} mit \definitionsverweis {Nullstellenmenge}{}{} $V(F)$. Zeige, dass für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ V(F) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und jeden Skalar
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda P }
{ \in }{ V(F) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \in }{ K[X,Y] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{.} Zeige: $F$ zerfällt in \definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ = }{ GH }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Faktorzerlegung. Zeige, dass \mathkor {} {G} {und} {H} {} ebenfalls homogen sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {homogenes Polynom }{}{} unter einer linearen Variablentransformation homogen vom gleichen Grad bleibt, und dass dies bei einer \definitionsverweis {affin-linearen Variablentransformation }{}{} nicht sein muss.

}
{} {}

Die folgenden zwei Aufgaben dienen dem Verständnis von Satz 5.4 und Korollar 5.5.

\inputaufgabe
{}
{

Wende den Beweis zu Satz 5.4 auf das Polynom $Y$ an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ \in }{ {\mathbb C} [X,Y] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein nicht-konstantes Polynom. Zeige, dass die zugehörige algebraische Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C }
{ = }{ V(F) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {überabzählbar}{}{} viele Elemente besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das Bild $\tilde{F}$ des Polynoms
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F }
{ =} { X^2Y+3XY-Y^3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} unter dem durch
\mathdisp {X \longmapsto T^2+S-3,\, Y \longmapsto 3TS+S^2-T} { }
definierten Einsetzungshomomorphismus \maabbdisp {} {K[X,Y] } { K[S,T] } {.}

}
{} {}


\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein unendlicher \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Polynom mit der zugehörigen Abbildung \maabbdisp {F} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ 1 } } } {.} Zeige mit und ohne Satz 5.11, dass das Bild von $F$ einpunktig oder unendlich ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} mit $q$ Elementen und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_1 , \ldots , P_n }
{ \in} { {\mathbb A}^{2}_{ K } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} $n$ Punkte in der affinen Ebene. Zeige, dass es genau dann eine \definitionsverweis {polynomiale Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} { {\mathbb A}^{1}_{ K } } { {\mathbb A}^{2}_{ K } } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{bild} \varphi }
{ = }{ \{ P_1 , \ldots , P_n \} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1 }
{ \leq }{ n }
{ \leq }{ q }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine polynomiale Abbildung \maabbdisp {} { {\mathbb A}^{2}_{K} } { {\mathbb A}^{1}_{K} } {} derart, dass das Urbild von einem Punkt reduzibel ist, das Urbild von allen anderen Punkten aber irreduzibel.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Wie viele \definitionsverweis {Monome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $d$ gibt es im Polynomring in einer, in zwei und in drei Variablen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wende den Beweis zu Satz 5.4 auf die algebraische Kurve an, die zur rationalen Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y }
{ =} { { \frac{ X^2-2X }{ X^2-1 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gehört.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{2}_{ K } } { {\mathbb A}^{2}_{ K } } {(x,y)} {(x,xy) } {.} Bestimme das Bild und die Fasern dieser Abbildung.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte das \stichwort { Ellipsoid} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E }
{ =} { V(2x^2+3y^2+4z^2-5) }
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \mid 2x^2+3y^2+4z^2 = 5 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Finde eine affin-lineare Variablentransformation derart, dass das Bild von $E$ unter der Abbildung die \stichwort {Standardkugel} {}
\mathl{V(x^2+y^2+z^2-1)}{} wird.

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{ \bildeinlesungpng {Elipsoid_trojosy321} {png} }
\end{center}
\bildtext {Ein Ellipsoid: In der algebraischen Geometrie ist damit die Oberfläche gemeint.} }

\bildlizenz { Elipsoid trojosy321.png } {} {Pajs} {cz. Wikipedia} {gemeinfrei} {}

Ein Ellipsoid: In der algebraischen Geometrie ist damit die Oberfläche gemeint.

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $V$ und $\tilde{V}$ \definitionsverweis {affin-algebraische Mengen}{}{} in ${\mathbb A}^{2}_{ K }$ zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ = }{ \Z/( 2 ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass diese beiden Mengen genau dann \definitionsverweis {affin-linear äquivalent}{}{} sind, wenn sie die gleiche Anzahl besitzen.

}
{Zeige ebenso, dass dies bei
\mathl{K=\Z/(p)}{} für
\mathl{p \geq 3}{} und auch für
\mathl{\mathbb A^n_{\Z/(2)}}{} für
\mathl{n \geq 3}{} nicht gilt.} {}