Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 8/latex

\setcounter{section}{8}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C }
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ \R }^{ 3 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der Durchschnitt von zwei Zylindern \zusatzklammer {um die $x$- bzw. um die $y$-Achse} {} {} mit Radius $1$ \zusatzklammer {$C$ ist also die Vereinigung von zwei Ellipsen} {} {.} Wir betrachten die durch einen Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ = }{ (a,b,c) }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} definierte \definitionsverweis {senkrechte Projektion}{}{} \maabbdisp {p_v} { { {\mathbb A}_{ \R }^{ 3 } } } { {\mathbb A}^{2}_{\R} } {.} Man charakterisiere, in Abhängigkeit von
\mathl{a,b,c}{,} die möglichen Bilder unter diesen Projektionen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{2}_{ K } } { {\mathbb A}^{2}_{ K } } { (x,y) } { (x^2,y^2) = (u,v) } {.} Wie sieht das Bild der Ebene und wie das Bild des Einheitskreises unter dieser Abbildung für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ = }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und wie für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ = }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} aus? Im reellen Fall, wenn der Kreis einmal durchlaufen wird, wie oft wird das Bild durchlaufen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} { { {\mathbb A}_{ K }^{ r } } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } } {} eine \definitionsverweis {polynomiale Abbildung}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ r } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{}
} {}{}{} eine Teilmenge. Zeige, dass die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overline{\varphi(T)} }
{ =} { \overline{\varphi(\overline{T} ) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Aussage von Aufgabe 8.3 nicht ohne die Voraussetzung gilt, dass die Abbildung polynomial ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte in ${\mathbb A}^{2}_{\R}$ die beiden Nullstellenmengen
\mathdisp {K=V(X^2+Y^2-1) \text{ und } C=V(X^4+Y^4-1)} { . }
Zeige, dass es eine polynomiale Abbildung in zwei Variablen gibt, die die eine Nullstellenmenge surjektiv auf die andere abbildet. Zeige, dass diese Abbildung schon über $\Q$ definiert ist, dort aber nicht surjektiv ist. Zeige ferner, dass es über $\Q$ überhaupt keine surjektive polynomiale Abbildung von $C$ nach $K$ geben kann und dass es nur die konstanten polynomialen Abbildungen von $K$ nach $C$ gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Schreibe eine Computeranimation, die die Stangenkonfiguration bzw. die zugehörigen Trajektorien aus Beispiel 8.5 darstellt.

}
{} {}