Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 9

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Begründe, warum der Ring

noethersch ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei

eine aufsteigende Kette von Idealen. Zeige, dass die Vereinigung ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.


Aufgabe

Sei ein Körper und sei

der Polynomring über in unendlich vielen Variablen. Man beschreibe darin ein nicht endlich erzeugtes Ideal und eine unendliche, echt aufsteigende Idealkette.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines nicht-noetherschen Ringes, dessen Reduktion ein Körper ist.


Aufgabe

Wir betrachten auf- und absteigende Ketten von affin-algebraischen Mengen in und von Idealen in . Zeige die folgenden Aussagen.

a) Für einen endlichen Körper wird jede aufsteigende Kette

von affin-algebraischen Mengen stationär.


b) Für einen unendlichen Körper und wird nicht jede aufsteigende Kette

von affin-algebraischen Mengen stationär.


c) Für (einen beliebigen Körper und) wird nicht jede absteigende Idealkette

stationär.

d) Für einen unendlichen Körper und gibt es echt absteigende Ketten von affin-algebraischen Mengen beliebiger Länge.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und sei ein Ideal mit dem Restklassenring . Zeige, dass die Ideale von eindeutig denjenigen Idealen von entsprechen, die umfassen.

Zeige, dass das Gleiche gilt für Primideale, Radikalideale und maximale Ideale.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass keine Algebra von endlichem Typ über ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper und sei . Finde eine -Unteralgebra von , die nicht endlich erzeugt ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien Polynome und eine Körpererweiterung. Diskutiere, wie sich die verschiedenen Äquivalenzbegriffe aus der siebten Vorlesung für und (und für und ) unter dem Körperwechsel verhalten.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme zum Ideal

in die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette und das zugehörige Erzeugendensystem von . Schreibe die obigen Erzeuger als Linearkombination mit dem konstruierten Erzeugendensystem.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein noetherscher Integritätsbereich. Zeige, dass sich jedes Element aus als ein Produkt von irreduziblen Elementen schreiben lässt.




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