Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 9

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Begründe, warum der Ring

$\mathbb {Z} [X,Y,Z,W]/(XY-ZW,5X^{8}-YZ^{3}+2WXY)$

noethersch ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei

${\mathfrak {a}}_{1}\subseteq {\mathfrak {a}}_{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{3}\subseteq \ldots$

eine aufsteigende Kette von Idealen. Zeige, dass die Vereinigung ${}\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}_{n}$ ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

$K[X_{n},\,n\in \mathbb {N} ]$

der Polynomring über ${}K$ in unendlich vielen Variablen. Man beschreibe darin ein nicht endlich erzeugtes Ideal und eine unendliche, echt aufsteigende Idealkette.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines nicht-noetherschen Ringes, dessen Reduktion ein Körper ist.

Aufgabe

Wir betrachten auf- und absteigende Ketten von affin-algebraischen Mengen in ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ und von Idealen in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Für einen endlichen Körper wird jede aufsteigende Kette

$V_{0}\subseteq V_{1}\subseteq V_{2}\subseteq \ldots$

von affin-algebraischen Mengen stationär.

b) Für einen unendlichen Körper und ${}n\geq 1$ wird nicht jede aufsteigende Kette

$V_{0}\subseteq V_{1}\subseteq V_{2}\subseteq \ldots$

von affin-algebraischen Mengen stationär.

c) Für (einen beliebigen Körper und) ${}n\geq 1$ wird nicht jede absteigende Idealkette

${\mathfrak {a}}_{0}\supseteq {\mathfrak {a}}_{1}\supseteq {\mathfrak {a}}_{2}\supseteq \ldots$

stationär.

d) Für einen unendlichen Körper und ${}n\geq 1$ gibt es echt absteigende Ketten von affin-algebraischen Mengen beliebiger Länge.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal mit dem Restklassenring

${}S=R/{\mathfrak {a}}\,.$

Zeige, dass die Ideale von ${}S$ eindeutig denjenigen Idealen von ${}R$ entsprechen, die ${}{\mathfrak {a}}$ umfassen.

Zeige, dass das Gleiche gilt für Primideale, Radikalideale und maximale Ideale.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass ${}\mathbb {Q}$ keine Algebra von endlichem Typ über ${}\mathbb {Z}$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Sei ${}K$ ein Körper und sei ${}A=K[X,Y]$. Finde eine ${}K$- Unteralgebra von ${}A$, die nicht endlich erzeugt ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}F,G\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ Polynome und ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Diskutiere, wie sich die verschiedenen Äquivalenzbegriffe aus der siebten Vorlesung für ${}F$ und ${}G$ (und für ${}V(F)$ und ${}V(G)$) unter dem Körperwechsel verhalten.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme zum Ideal

${}I=(10,6x^{2}+8,4x^{3}-12)\,$

in ${}\mathbb {Z} [x]$ die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette und das zugehörige Erzeugendensystem von ${}I$. Schreibe die obigen Erzeuger als Linearkombination mit dem konstruierten Erzeugendensystem.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein noetherscher Integritätsbereich. Zeige, dass sich jedes Element aus ${}R$ als ein Produkt von irreduziblen Elementen schreiben lässt.