Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Vorlesung 19/latex

Aus Wikiversity

\setcounter{section}{19}






\zwischenueberschrift{Restklassendarstellung für monomiale Kurven}

Sei $M$ ein numerisches Monoid, das von den teilerfremden natürlichen Zahlen
\mathl{e_1 , \ldots , e_n}{} erzeugt werde. Die zugehörige Surjektion
\mathl{\N^n \rightarrow M \subseteq \N}{} führt zu einer Surjektion \maabbeledisp {} {K[X_1 , \ldots , X_n]} {K[M] } {X_i} { T^{e_i}} {,} und einer abgeschlossenen Einbettung
\mathl{C=K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[M] \right) } \hookrightarrow { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{.} Durch welche Gleichungen lässt sich $C$ beschreiben?





\inputfaktbeweis
{Affine Kurven/Monomiale Kurven/Beschreibende binomiale Gleichungen/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \subseteq }{ N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein durch teilerfremde Elemente
\mathl{e_1 , \ldots , e_n}{} erzeugtes Untermonoid und sei \maabb {} { \N^n} {M } {} die zugehörige surjektive Abbildung mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus \maabb {\varphi} { K[X_1 , \ldots , X_n] } {K[M] } {.}}
\faktfolgerung {Dann wird das Kernideal durch
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{\ker \varphi }
{ =} { { \left( \prod_{i \in I_1} X_i^{r_i} - \prod_{i \in I_2} X_i^{s_i} :\, I_1, I_2 \subseteq \{1, \ldots ,n\} \text{ disjunkt }, \sum_{i \in I_1} r_ie_i = \sum_{i \in I_2} s_ie_i \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {mit \mathlk{r_i, s_i \geq 1}{}} {} {} beschrieben.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dass die angegebenen Elemente zum Kernideal gehören folgt direkt aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( \prod_{i \in I_1} X_i^{r_i} \right) } }
{ =} { \prod_{i \in I_1} { \left( t^{e_i} \right) }^{r_i} }
{ =} { t^{\sum_{i \in I_1} r_ie_i } }
{ } {}
{ } {}
} {}{}{.} Für die Umkehrung sei
\mathl{F \in K[X_1, \ldots ,X_n]}{} ein Polynom mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi (F) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F }
{ =} {\sum_\nu a_\nu X^{\nu} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {mit \mathlk{\nu=(\nu_1 , \ldots , \nu_n)}{}} {} {.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(F) }
{ =} { \sum_\nu a_\nu t^{\sum_{i=1}^n \nu_ie_i } }
{ =} { \sum_{k=0} { \left( \sum_{ \nu : \, \sum_{i = 1}^n \nu_i e_i = k } a_\nu \right) }t^k }
{ } {}
{ } {}
} {}{}{.} Da dieses Polynom gleich $0$ ist müssen alle Koeffizienten $0$ sein, d.h. zu jedem $k$ gehört auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F_k }
{ =} { \sum_{ \nu : \, \sum_{i = 1}^n \nu_i e_i = k } a_\nu X^\nu }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zum Kern. Wir können also annehmen, dass in $F$ nur Monome $X^\nu$ mit dem gleichen Wert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^n \nu_ie_i }
{ = }{ k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vorkommen. Betrachten wir ein solches Monom aus $F$, sagen wir $X^\nu$ \zusatzklammer {mit \mathlk{a_\nu \neq 0}{}} {} {.} Es muss in $F$ mindestens noch ein weiteres Monom, sagen wir $X^\mu$, vorkommen, da ein einzelnes Monom nicht auf $0$ abgebildet wird. Wir schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F }
{ =} { a_\nu (X^\nu -X^\mu) + { \left( F- a_\nu X^\nu + a_\nu X^\mu \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Im Summand rechts kommt $X^\nu$ nicht mehr vor, und es kommt auch kein neues Monom hinzu. In
\mathl{X^\nu-X^\mu}{} können wir diejenigen Variablen, die beidseitig auftreten, so weit ausklammern, dass sich ein Ausdruck der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^\nu-X^\mu }
{ =} {X_1^{b_1} \cdots X_n^{b_n} { \left( \prod_{i \in I_1} X_i^{r_i}- \prod_{i \in I_2} X_i^{s_i} \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit disjunkten $I_1$ und $I_2$ und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{i \in I_1}e_ir_i }
{ = }{ \sum_{i \in I_2}e_is_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ergibt. Der linke Summand in obiger Beschreibung von $F$ gehört also zu dem von den angegebenen Binomen erzeugten Ideal und wir können mit dem rechten Summand, in dem ein Monom weniger vorkommt, fortfahren.

}


Die im vorstehenden Satz auftretenden Gleichungen nennmt man \stichwort {binomiale Gleichungen} {.} Die einfachsten binomialen Gleichungen sind von der Bauart \zusatzklammer {\mathlk{i \neq j}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X_i^{e_j/\operatorname{ggT}(e_i,e_j)} }
{ =} { X_j^{e_i/\operatorname{ggT}(e_i,e_j)} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Im Fall von ebenen monomialen Kurven ist das auch die einzige Gleichung.




\inputfaktbeweis
{Ebene affine Kurven/Monomiale Kurve/Beschreibende Gleichung/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $C$ die durch
\mathl{t \mapsto (t^{e_1}, t^{e_2})=(x,y)}{} \zusatzklammer {mit $e_1,e_2$ teilerfremd} {} {} gegebene monomiale ebene Kurve.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} { V(X^{e_2}-Y^{e_1}) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt sofort aus Satz 19.1.

}


Bei monomialen Raumkurven lassen sich die beschreibenden Gleichungen auch noch einigermaßen einfach bestimmen, da man immer eine Variable isolieren kann.




\inputbeispiel{}
{






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Twisted_cubic_curve.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Twisted cubic curve.png } {Claudio Rocchini} {} {Commons} {CC-BY-SA-3.0} {}

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ \subset }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \anfuehrung{gedrehte Kubik}{,} also das Bild der monomialen Abbildung, die durch
\mathl{t \mapsto (t,t^2,t^3)}{} gegeben ist. Diese Kurve ist isomorph zu einer affinen Geraden und insbesondere glatt. Das beschreibende Ideal ist nach Satz 19.1 gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ =} {(Y-X^2,Z-X^3,Y^3-Z^2,Z-XY) }
{ =} {(Y-X^2,Z-X^3) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die beiden letzten Idealerzeuger sind dabei überflüssig, da sie sich durch die beiden anderen ausdrücken lassen. Insgesamt ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} { V(Y-X^2,Z-X^3) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Bilder von $C$ unter den drei verschiedenen Projektion sind
\mathdisp {C_1=V( Z^2-Y^3),\, C_2=V(Z-X^3), \, C_3=V(Y-X^2)} { . }
Dabei sind $C_2$ und $C_3$ isomorph zur affinen Geraden \zusatzklammer {als Graph einer Abbildung} {} {,} während $C_1$ die singuläre Neilsche Parabel ist.


}




\inputbeispiel{}
{

Es sei $C$ die durch
\mathdisp {t \longmapsto (t^3,t^4,t^5)=(x,y,z)} { }
gegebene monomiale Kurve. Für jede der drei Variablen müssen wir gemäß Satz 19.1 schauen, welche Potenzen davon, wenn man die $t$-Potenz substituiert, sich auch als Monom in den beiden anderen Variablen ausdrücken lassen.

Zunächst haben wir die Gleichungen, in denen jeweils nur zwei Variablen vorkommen. Das sind
\mathdisp {Y^3=X^4,\, Z^3=X^5, \, Z^4=Y^5} { . }
Hier kann es, wie im ebenen Fall, immer nur eine Beziehung geben.

In den Relationen, wo alle drei Variablen beteiligt sind, kommt eine der Variablen allein vor. Starten wir mit $X$. Zunächst lassen sich $X$ und $X^2$ nicht durch die anderen Variablen ausdrücken, dafür haben wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X^3 }
{ = }{T^9 }
{ = }{YZ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Eine andere \zusatzklammer {davon unabhängige} {} {} Kombination ist nicht möglich. Grundsätzlich impliziert eine mehrfache Darstellung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^k }
{ = }{ Y^{i}Z^{j} }
{ = }{ Y^{a}Z^{b} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} dass man zwischen Potenzen von $Y$ und von $Z$ eine Beziehung hat, da man ja die kleineren Potenzen rauskürzen kann. Da wir alle Relationen mit nur zwei Variablen schon aufgelistet haben, liefert eine Potenz von $X$ immer nur maximal eine neue Relation. Wir behaupten, dass wir für $X$ alleinstehend schon fertig sind. Ist nämlich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^k }
{ = }{ Y^{i}Z^{j} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ \geq }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} haben wir die Gleichungen schon aufgelistet. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i,j }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann kann man aber mittels der Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X^3 }
{ = }{YZ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Exponenten in der Gleichung kleiner machen \zusatzklammer {indem man den Exponenten von $X$ um $3$ reduziert und die Exponenten von $Y$ und von $Z$ um $1$} {} {.}

Für $Y$ hat man sofort die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y^2 }
{ = }{ZX }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} mit der man wieder alle anderen Gleichungen reduzieren kann.

Für $Z$ hat man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Z^2 }
{ = }{X^2Y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Z^3 }
{ = }{ XY^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es gibt keine kleineren Monome in $X$ und $Y$, die man als Potenz von $Z$ ausdrücken kann. Daher kann man jede andere Relation mittels einer von diesen auf eine frühere zurückführen.

Insgesamt haben wir also für die Kurve $C$ die Gleichungen
\mathdisp {C=V( Y^3-X^4, Z^3-X^5, Z^4-Y^5,
\mathdisplaybruch X^3-YZ, Y^2-XZ, Z^2-X^2Y ,Z^3-XY^3 )} { }


}






\zwischenueberschrift{Ganzheit}

Der Koordinatenring zur Neilschen Parabel ist
\mathdisp {R=K[t^2,t^3,t^4, \ldots] \subseteq S=K[t]} { . }
Das Element $t$ gehört nicht zu $R$, allerdings gehört das Quadrat $t^2$ dazu. Man sagt, dass $t$ eine Ganzheitsgleichung über dem Unterring $R$ erfüllt.




\inputdefinition
{}
{

Es seien \mathkor {} {R} {und} {S} {} \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Ring\-erweiterung. Für ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt eine Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^n+ r_{n-1}x^{n-1} + r_{n-2}x^{n-2} + \cdots + r_1x +r_0 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei die Koeffizienten \mathind { r_{i} } { i=0 , \ldots , n-1 }{,} zu $R$ gehören, eine \definitionswort {Ganzheitsgleichung}{} für $x$.

}




\inputdefinition
{}
{

Es seien \mathkor {} {R} {und} {S} {} \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Ring\-erweiterung. Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt \definitionswort {ganz}{} \zusatzklammer {über $R$} {} {,} wenn $x$ eine \definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{} mit Koeffizienten aus $R$ erfüllt.

}




\inputdefinition
{}
{

Es seien \mathkor {} {R} {und} {S} {} \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Ring\-erweiterung. Dann nennt man die Menge der Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die \definitionsverweis {ganz}{}{} über $R$ sind, den \definitionswort {ganzen Abschluss}{} von $R$ in $S$.

}




\inputdefinition
{}
{

Es seien \mathkor {} {R} {und} {S} {} \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Ring\-erweiterung. Dann heißt $S$ \definitionswort {ganz}{} über $R$, wenn jedes Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {ganz}{}{} über $R$ ist.

}

$S$ ist genau dann ganz über $R$, wenn der ganze Abschluss von $R$ in $S$ gleich $S$ ist.





\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzes Element/Charakterisierung/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es seien $R$ und $S$ \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Ringerweiterung.}
\faktuebergang {Für ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{$x$ ist \definitionsverweis {ganz}{}{} über $R$. }{Es gibt eine $R$-Unteralgebra $T$ von $S$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und die ein endlicher $R$-Modul ist. }{Es gibt einen endlichen $R$-Untermodul $M$ von $S$, der einen \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} aus $S$ enthält, mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xM }
{ \subseteq }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

(1) $\Rightarrow$ (2). Wir betrachten die von den Potenzen von $x$ erzeugte $R$-Unteralgebra
\mathl{R[x]}{} von $S$, die aus allen polynomialen Ausdrücken in $x$ mit Koeffizienten aus $R$ besteht. Aus einer Ganzheitsgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^n+ r_{n-1}x^{n-1} + r_{n-2}x^{n-2} + \cdots + r_1x +r_0 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^n }
{ =} { - r_{n-1}x^{n-1} - r_{n-2}x^{n-2} - \cdots - r_1x -r_0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Man kann also $x^n$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ausdrücken. Durch Multiplikation dieser letzten Gleichung mit $x^{i}$ kann man jede Potenz von $x$ mit einem Exponenten $\geq n$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ersetzen. Insgesamt kann man dann aber all diese Potenzen durch polynomiale Ausdrücke vom Grad
\mathl{\leq n-1}{} ersetzen. Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R[x] }
{ =} { R + Rx + Rx^2 + \cdots + Rx^{n-2} + Rx^{n-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und die Potenzen
\mathl{x^0=1,x^1,x^2 , \ldots , x^{n-1}}{} bilden ein endliches Erzeugendensystem von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ = }{ R[x] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

(2) $\Rightarrow$ (3). Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{T }
{ \subseteq }{S }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} $T$ eine $R$-Unteralgebra, die als $R$-Modul endlich erzeugt sei. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xT }
{ \subseteq }{T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} und $T$ enthält den Nichtnullteiler $1$.

(3) $\Rightarrow$ (1). Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \subseteq }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein endlich erzeugter $R$-Untermodul mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xM }
{ \subseteq }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es seien
\mathl{y_1 , \ldots , y_n}{} erzeugende Elemente von $M$. Dann ist insbesondere
\mathl{xy_i}{} für jedes $i$ eine $R$-Linearkombination der \mathind { y_j } { j=1 , \ldots , n }{.} Dies bedeutet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x y_i }
{ =} { \sum_{j = 1}^n r_{ij} y_j }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r_{ij} }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} oder, als Matrix geschrieben,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x \begin{pmatrix} y_1 \\y_2\\ \vdots\\y_n \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} r_{1,1} & r_{1,2} & \ldots & r_{1,n} \\ r_{2,1} & r_{2,2} & \ldots & r_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ r_{n,1} & r_{n,2} & \ldots & r_{n,n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\y_2\\ \vdots\\y_n \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies schreiben wir als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} { \begin{pmatrix} x-r_{1,1} & - r_{1,2} & \ldots & - r_{1,n} \\ - r_{2,1} & x -r_{2,2} & \ldots & - r_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -r_{n,1} & - r_{n,2} & \ldots & x- r_{n,n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\y_2\\ \vdots\\y_n \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Nennen wir diese Matrix $A$ \zusatzklammer {die Einträge sind aus $S$} {} {,} und sei
\mathl{A^{ \operatorname{adj} }}{} die \definitionsverweis {adjungierte Matrix}{}{.} Dann gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A^{ \operatorname{adj} } A y }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {$y$ bezeichne den Vektor \mathlk{(y_1 , \ldots , y_n)}{}} {} {} und nach der Cramerschen Regel ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A^{ \operatorname{adj} } A }
{ = }{ (\det A )E_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} also gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ((\det A ) E_n) y }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\det A ) y_j }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle $j$ und damit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\det A ) z }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Da $M$ nach Voraussetzung einen Nichtnullteiler enthält, muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \det A }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sein. Die Determinante ist aber ein normierter polynomialer Ausdruck in $x$ vom Grad $n$, so dass eine Ganzheitsgleichung vorliegt.

}





\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzer Abschluss/Ring/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es seien \mathkor {} {R} {und} {S} {} \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Ring\-erweiterung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der \definitionsverweis {ganze Abschluss}{}{} von $R$ in $S$ eine $R$-Unteralgebra von $S$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Die Ganzheitsgleichungen \mathind { X-r } { r \in R }{,} zeigen, dass jedes Element aus $R$ ganz über $R$ ist. Seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_1 }
{ \in }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_2 }
{ \in }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ganz über $R$. Nach der Charakterisierung der Ganzheit gibt es endliche $R$-Unteralgebren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T_1,T_2 }
{ \subseteq }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_1 }
{ \in }{T_1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_2 }
{ \in }{T_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mathl{y_1 , \ldots , y_n}{} ein $R$-Erzeugendensystem von $T_1$ und
\mathl{z_1 , \ldots , z_m}{} ein $R$-Erzeugendensystem von $T_2$. Wir können annehmen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y_1 }
{ = }{z_1 }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Betrachte den endlich erzeugten $R$-Modul
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T }
{ =} {T_1 \cdot T_2 }
{ =} {\langle y_iz_j, \, i= 1 , \ldots , n, \, j = 1 , \ldots , m \rangle }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} der offensichtlich
\mathl{x_1+x_2}{} und
\mathl{x_1x_2}{} \zusatzklammer {und $1$} {} {} enthält. Dieser $R$-Modul $T$ ist auch wieder eine $R$-Algebra, da für zwei beliebige Elemente gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \sum r_{ij} y_iz_j \right) } { \left( \sum s_{kl} y_kz_l \right) } }
{ =} { \sum r_{ij}s_{kl} y_iy_k z_jz_l }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} und für die Produkte gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y_iy_k }
{ \in }{ T_1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z_jz_l }
{ \in }{ T_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} so dass diese Linearkombination zu $T$ gehört. Dies zeigt, dass die Summe und das Produkt von zwei ganzen Elementen wieder ganz ist. Deshalb ist der ganze Abschluss ein Unterring von $S$, der $R$ enthält. Also liegt eine $R$-Unteralgebra vor.

}





\inputdefinition
{}
{

Es seien $R$ und $S$ \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Ringerweiterung}{}{.} Man nennt $R$ \definitionswort {ganz-abgeschlossen}{} in $S$, wenn der \definitionsverweis {ganze Abschluss}{}{} von $R$ in $S$ gleich $R$ ist.

}