Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Vorlesung 3/latex
\setcounter{section}{3}
\zwischenueberschrift{Die Zariski-Topologie}
In Proposition 2.8 haben wir gezeigt, dass die affin-algebraischen Teilmengen eines affinen Raumes die Axiome für abgeschlossene Mengen einer \definitionsverweis {Topologie}{}{} erfüllen. Diese Topologie nennt man die Zariski-Topologie.
\inputdefinition
{}
{
In einem
\definitionsverweis {affinen Raum}{}{}
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} versteht man unter der \definitionswort {Zariski-Topologie}{} diejenige
\definitionsverweis {Topologie}{}{,}
bei der die
\definitionsverweis {affin-algebraischen Mengen}{}{}
als abgeschlossen erklärt werden.
}
Die offenen Mengen der Zariski-Topologie sind also die Komplemente der affin-algebraischen Mengen. Sie werden zu einem Ideal ${\mathfrak a}$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D({\mathfrak a})
}
{ =} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } \setminus V({\mathfrak a})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bezeichnet. Die Zariski-Topologie weicht sehr stark von anderen Topologien ab, insbesondere von solchen, die durch eine Metrik gegeben sind. Insbesondere ist die Zariski-Topologie nicht
\definitionsverweis {hausdorffsch}{}{.}
Generell kann man sagen, dass die offenen Mengen
\zusatzklammer {außer der leeren Menge} {} {}
in der Zariski-Topologie sehr groß sind
\zusatzklammer {siehe
Aufgabe 3.12} {} {,}
während die abgeschlossenen
\zusatzklammer {also die affin-algebraischen Mengen} {} {}
sehr dünn sind
\zusatzklammer {außer dem ganzen Raum selbst} {} {.}
\inputbeispiel{}
{
Die Zariski-Topologie auf der affinen Geraden
\mathl{{\mathbb A}^{1}_{ K }}{} über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ lässt sich einfach beschreiben. Als
\zusatzklammer {Zariski} {} {-}abgeschlossene Teilmenge haben wir zunächst einmal die gesamte affine Gerade, die durch
\mathl{V(0)}{} beschrieben wird. Alle anderen abgeschlossenen Teilmengen werden durch
\mathl{V({\mathfrak a})}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschrieben. Da
\mathl{K[X]}{} ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
ist, kann man sogar
\mathbed {{\mathfrak a} =(f)} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,}
ansetzen. Die zugehörige Nullstellenmenge besteht also aus endlich vielen Punkten. Andererseits ist jeder einzelne Punkt $P$ mit der Koordinate $a$ die einzige Nullstelle des linearen Polynoms
\mathl{X-a}{,} also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \{P\}
}
{ = }{ V(X-a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Zariski-abgeschlossen. Eine endliche Ansammlung von Punkten
\mathl{P_1 , \ldots , P_k}{} mit den Koordinaten
\mathl{a_1 , \ldots , a_k}{} ist die Nullstellenmenge des Polynoms
\mathl{(X-a_1) \cdots (X-a_k)}{.} Die Zariski-abgeschlossenen Mengen der affinen Geraden bestehen also aus allen endlichen Teilmengen
\zusatzklammer {einschließlich der leeren} {} {}
und der gesamten Menge.
}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{ \bildeinlesungjpg {Lineline} {jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Lineline.jpg } {} {Astur1} {Commons} {PD} {}
\inputbeispiel{}
{
Jeder Punkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { (a_1 , \ldots , a_n)
}
{ \in} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\definitionsverweis {Zariski-abgeschlossen}{}{,}
und zwar ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { V(X_1-a_1,X_2-a_2 , \ldots , X_n- a_n )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Punkte sind
\zusatzklammer {neben der leeren Menge und dem gesamten Raum} {} {}
die einfachsten affin-algebraischen Mengen. Das Ideal
\zusatzklammer {genannt \stichwort {Punktideal} {}} {} {}
\mathl{(X_1-a_1, X_2-a_2 , \ldots , X_n- a_n )}{} ist
\definitionsverweis {maximal}{}{,}
siehe
Aufgabe 2.2.
}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{ \bildeinlesungpng {IntersectingPlanes} {png} }
\end{center}
\bildtext {Der Schnitt von zwei und} }
\bildlizenz { IntersectingPlanes.png } {} {Stib} {en.wikipedia.org} {CC-BY-SA-3.0} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{ \bildeinlesungpng {Secretsharing-3-point} {png} }
\end{center}
\bildtext {von drei Ebenen} }
\bildlizenz { Secretsharing-3-point.png } {} {Stib} {en.wikipedia.org} {CC-BY-SA-3.0} {}
\zwischenueberschrift{Das Verschwindungsideal}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Dann nennt man
\mathdisp {{ \left\{ F \in K[X_1 , \ldots , X_n] \mid F(P) = 0 \text { für alle } P \in T \right\} }} { }
das \definitionswort {Verschwindungsideal}{} zu $T$. Es wird mit
\mathl{\operatorname{Id} \,(T)}{} bezeichnet.
}
Es handelt sich dabei in der Tat um ein Ideal: Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(P)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G(P)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so gilt dies auch für die Summe
\mathl{F+G}{} und für jedes Vielfache $HF$.
Damit haben wir zwei Zuordnungen in entgegengesetze Richtung: Einer Teilmenge im affinen Raum wird das Verschwindungsideal zugeordnet und einem Ideal im Polynomring das zugehörige Nullstellengebilde. Wir interessieren uns dafür, inwiefern sich Ideale und Nullstellengebilde entsprechen.
\inputbeispiel{}
{
Das \definitionsverweis {Verschwindungsideal}{}{} zur leeren Menge ist das \definitionsverweis {Einheitsideal}{}{,} da es keinen Punkt gibt, auf dem die Nullstellenbedingung überprüft werden müsste.
Das Verschwindungsideal zum Gesamtraum
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} hängt vom Körper ab. Wenn dieser unendlich ist, so gibt es nur das Nullpolynom, das überall verschwindet, und folglich ist das Verschwindungsideal gleich dem Nullideal. Dies folgt aus
Aufgabe *****.
Ist hingegen der Körper endlich mit $q$ Elementen, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^q -x
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Also verschwindet das Polynom
\mathl{X^q-X}{} auf jedem Punkt der affinen Geraden und gehört somit zum Verschwindungsideal der affinen Geraden. In höherer Dimension ist das Verschwindungsideal von
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} gleich
\mathl{(X_1^q-X_1,X_2^q-X_2 , \ldots , X_n^q-X_n)}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (a_1 , \ldots , a_n)
}
{ \in }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist das
\definitionsverweis {Verschwindungsideal}{}{}
\mathl{\operatorname{Id} \, (P)}{} gleich dem Ideal
\mathl{(X_1-a_1 , \ldots , X_n -a_n)}{.} Zunächst ist klar, dass die linearen Polynome
\mathl{X_i-a_i}{} im Punkt $P$ verschwinden
\zusatzklammer {wegen
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ (X_i-a_i)(P)
}
{ = }{ a_i -a_i
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
Damit gehört auch das von diesen Polynomen erzeugte Ideal zum Verschwindungsideal. Es sei umgekehrt $F$ ein Polynom mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(P)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir schreiben $F$ in den \anfuehrung{neuen Variablen}{}
\mathdisp {\tilde{X}_1 = X_1-a_1 , \ldots , \tilde{X}_n = X_n -a_n} { , }
indem wir $X_i$ durch
\mathl{X_i-a_i+a_i}{} ersetzen. In den neuen Variablen sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ = }{ \sum_\nu b_\nu \tilde{X}^\nu
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dieses Polynom besteht aus der Konstanten $b_0$, in jedem anderen Monom kommt mindestens eine Variable vor. Also können wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { F_1 \tilde{X}_1 + \cdots + F_n \tilde{X}_n + c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit gewissen Polynomen $F_i$ schreiben. Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(P)
}
{ = }{ c
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ (\tilde{X}_1 , \ldots , \tilde{X}_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Affine Varietäten/Verschwindungsideal/Antimonotonie/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq }{ W
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Teilmengen.}
\faktfolgerung {Dann gilt für die zugehörigen
\definitionsverweis {
Verschwindungsideale
}{}{}
die Inklusion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Id} \, (W)
}
{ \subseteq} { \operatorname{Id} \, (V)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ \operatorname{Id} \,(W)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
d.h. es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(P)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist erst recht
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(P)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Also ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ \operatorname{Id} \,(V)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/Nullstellengebilde/Beziehung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ V ( \operatorname{Id}(T))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \operatorname{Id} (V(I))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V(I)
}
{ = }{ V ( \operatorname{Id}(V(I)))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Id} (T)
}
{ = }{ \operatorname{Id} (V( \operatorname{Id} (T) ))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
(1). Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt. Dann verschwindet nach Definition jedes Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ \operatorname{Id}(T)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf $T$, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ V( \operatorname{Id} (T))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
(2). Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann verschwindet $F$ auf ganz $V(I)$ und daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ \operatorname{Id} \, (V(I))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
(3). Nach (1), angewandt auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ V(I)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
haben wir die Inklusion \anfuehrung{ $\subseteq$ }{.} Nach (2) ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \operatorname{Id} \, (V(I))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wendet man darauf $V(-)$ an, so ergibt sich nach
Lemma 2.7
die andere Inklusion.
(4). Wie (3).
\inputbeispiel{}
{
Die Inklusionen in
Lemma 3.8
(1), (2) sind echt. Es sei zum Beispiel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subset }{ {\mathbb A}^{1}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine unendliche echte Teilmenge
\zusatzklammer {was voraussetzt, dass $K$ unendlich ist} {} {.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Id} (T)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V(0)
}
{ = }{ {\mathbb A}^{1}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
echt größer als $T$.
Zu (2). Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ = }{ (X^2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V(I)
}
{ = }{ \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Id} \,(\{0\})
}
{ = }{ (X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
aber
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ \notin }{ (X^2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Ein extremeres Beispiel für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ \R [X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ = }{ (X^2+Y^2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V(I)
}
{ = }{ \{(0,0)\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Das Verschwindungsideal zu diesem Punkt ist aber das Ideal
\mathl{(X,Y)}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Affiner Raum/Zariski-Topologie/Zariski-Abschluss ist V zu Verschwindungsideal/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge.}
\faktfolgerung {Dann ist der Zariski-Abschluss von $T$ gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overline{T}
}
{ =} { V( \operatorname{Id} \,(T) )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ V( \operatorname{Id} \,(T) )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wurde in
Lemma 3.8 (1)
gezeigt. Da
\mathl{V( \operatorname{Id} \,(T))}{} nach Definition abgeschlossen ist, folgt daraus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{T}
}
{ \subseteq }{ V( \operatorname{Id} \,(T))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei umgekehrt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ V( \operatorname{Id} \,(T))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \notin }{ \overline{T}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
angenommen. Dies bedeutet, dass es eine Zariski-offene Menge $U$ gibt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U \cap T
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ D( {\mathfrak a} )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bedeutet, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G(P)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
geben muss. Es ist dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ D(G)
}
{ \subseteq }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T \cap D(G)
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ V(G)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \in }{ \operatorname{Id} \,(T)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G(P)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ergibt sich ein Widerspruch zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ V( \operatorname{Id} \,(T))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\zwischenueberschrift{Das Radikal}
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
${\mathfrak a}$ in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ heißt \definitionswort {Radikal}{}
\zusatzklammer {oder \definitionswort {Radikalideal}{}} {} {,}
wenn folgendes gilt: Falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^n
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so ist bereits
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputdefinition
{ }
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{.}
Dann nennt man die Menge
\mathdisp {{ \left\{ f \in R \mid \text{es gibt ein } r \text{ mit } f^r \in {\mathfrak a} \right\} }} { }
das \definitionswort {Radikal}{} zu ${\mathfrak a}$. Es wird mit
\mathl{\operatorname{rad} { \left( {\mathfrak a} \right) }}{} bezeichnet.
}
Das Radikal zu einem Ideal ist selbst ein Radikal und insbesondere ein Ideal.
\inputfaktbeweis
{Theorie der Radikale (kommutative Algebra)/Radikal zu einem Ideal/ist ein Ideal/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist das
\definitionsverweis {Radikal}{}{}
zu ${\mathfrak a}$ ein
\definitionsverweis {Radikalideal}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir zeigen zunächst, dass ein Ideal vorliegt. $0$ gehört offenbar zum Radikal und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ \operatorname{rad} { \left( {\mathfrak a} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^r
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (af)^r
}
{ = }{ a^rf^r
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also gehört $af$ zum Radikal. Zur Summeneigenschaft seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \in }{ \operatorname{rad} { \left( {\mathfrak a} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^r
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g^s
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (f+g)^{r+s}
}
{ =} { \sum_{i+j = r+s} \binom{r+s}{i} f^{i}g^{j}
}
{ =} { \sum_{i+j = r+s,\, i <r } \binom{r+s}{i} f^{i}g^{j} +\sum_{i+j = r+s,\, i \geq r} \binom{r+s}{i} f^{i}g^{j}
}
{ \in} { {\mathfrak a}
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^k
}
{ \in }{ \operatorname{rad} { \left( {\mathfrak a} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (f^k)^r
}
{ = }{ f^{kr}
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ \operatorname{rad} { \left( {\mathfrak a} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/ist Radikal/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge.}
\faktfolgerung {Dann ist das
\definitionsverweis {Verschwindungsideal}{}{}
zu $T$ ein
\definitionsverweis {Radikal}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F^s
}
{ \in }{ \operatorname{Id} \,(T)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F^s(P)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist aber auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(P)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ \operatorname{Id} \,(T)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir werden später sehen, dass über einem algebraisch abgeschlossenen Körper sich Radikale und algebraische Nullstellengebilde entsprechen. Das ist der Inhalt des \stichwort {Hilbertschen Nullstellensatzes} {.}