Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 16/latex
\setcounter{section}{16}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
$K$-\definitionsverweis {Spektrum}{}{}
einer
\definitionsverweis {endlich erzeugten}{}{}
kommutativen $K$-Algebra. Zeige, dass ein
\definitionsverweis {irreduzibler Filter}{}{}
durch
\definitionsverweis {offene Mengen}{}{}
der Form $D(f)$ erzeugt wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {affine Varietät}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {abgeschlossene}{}{}
Teilmenge. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Umgebungsfilter}{}{}
$U(Z)$ von
\definitionsverweis {offenen Mengen}{}{}
der Form $D(f)$ erzeugt wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein topologischer Raum. Zeige, dass ein \definitionsverweis {Ultrafilter}{}{} \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $U$ eine
\definitionsverweis {quasiaffine Varietät}{}{}
über einem
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{}
$K$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Einheiten}{}{}
in $\Gamma (U, {\mathcal O}_U )$ den
\definitionsverweis {Morphismen}{}{}
von $U$ nach
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { {\mathbb A}_{ K }^{ \times } }
}
{ = }{ {\mathbb A}^{1}_{K} \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
entsprechen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $U$ eine
\definitionsverweis {quasiaffine Varietät}{}{}
über einem
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{}
$K$ und sei
\maabbdisp {{\psi}} { U } { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
} {}
ein
\definitionsverweis {Morphismus}{}{.}
Zeige, dass ${\psi}$ genau dann durch die abgeschlossene Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V({\mathfrak a})
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
faktorisiert, wenn ${\mathfrak a}$ im
\definitionsverweis {Kern}{}{}
des globalen Ringhomomorphismus
\maabbdisp {\tilde{\psi}} { K [ T_1, \ldots , T_{ n }] } { \Gamma (U, {\mathcal O}_U )
} {}
liegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $U$ und $V$
\definitionsverweis {quasiaffine Varietäten}{}{}
über einem
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{}
$K$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{W
}
{ = }{ U \uplus V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ihre
\definitionsverweis {disjunkte Vereinigung}{}{.}
Zeige, dass für jede quasiaffine Varietät $Z$ ein
\definitionsverweis {Morphismus}{}{}
von $W$ nach $Z$ einfach ein Paar bestehend aus einem Morphismus von $U$ nach $Z$ und einem Morphismus von $V$ nach $Z$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{ V(x^2+y^2-1)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{ K }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Einheitskreis über einem Körper $K$ und es seien
\mathkor {} {P=(a,b)} {und} {Q=(c,d)} {}
Punkte auf $V$. Zeige, dass es einen
\definitionsverweis {Automorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} { V } { V
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(P)
}
{ =} { Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $X$ und $Z$
\definitionsverweis {quasiaffine Varietäten}{}{}
über einem
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{}
$K$. Zu jeder offenen Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
betrachten wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal F } { \left( U \right) }
}
{ \defeq} { { \left\{ \varphi:U \rightarrow Z \mid \varphi \text{ ist ein Morphismus} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dies eine
\definitionsverweis {Garbe}{}{}
auf $X$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man beschreibe einen $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} derart, dass die induzierte \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} der $K$-\definitionsverweis {Spektren}{}{} die Addition auf $K$ beschreibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass die Addition, die Multiplikation, das Negative, das Inverse und die Division in $K$ sich als Morphismen realisieren lassen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ (f_1 , \ldots , f_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein endlich erzeugtes
\definitionsverweis {Ideal}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein weiteres Element. Dann nennt man die $R$-Algebra
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} { R [ T_1, \ldots , T_{ n }]/( f _1 T_{1} + \cdots + f _{ n } T_{ n }+ f )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die \definitionswort {erzwingende Algebra}{} zu den
\mathl{f_1 , \ldots , f_n,f}{.} Zeige, dass $A$ folgende Eigenschaft erfüllt: Zu jedem
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} { R } { S
} {}
in einen kommutativen Ring $S$ mit der Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(f)
}
{ \in }{ {\mathfrak a} S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es einen
$R$-\definitionsverweis {Algebrahomo\-morphismus}{}{}
\maabb {\vartheta} { A } { S
} {.}
Zeige ebenso, dass dieser Homomorphismus
\betonung{nicht}{} eindeutig bestimmt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Es seien
\mathl{f_1 , \ldots , f_n,f}{} Elemente in $R$ und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} { R [ T_1, \ldots , T_{ n }]/( f _1 T_{1} + \cdots + f _{ n } T_{ n }+ f )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {erzwingende Algebra}{}{}
zu diesen Daten. Charakterisiere die
\definitionsverweis {Fasern}{}{}
des zugehörigen Morphismus
\maabbdisp {} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( A \right) } } { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }
} {.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und seien $R$ und $S$
\definitionsverweis {integre}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebren von endlichem Typ}{}{.}
Es sei
\maabb {\varphi} { R } { S
} {}
ein
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphis\-mus}{}{}
mit zugehörigem Morphismus
\maabb {\varphi^*} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) } } { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }
} {.}
Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungdreiabc{ $\varphi$ ist injektiv.
}{Das Bild von $\varphi^*$ ist
\definitionsverweis {dicht}{}{}
in
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{.}
}{ $\varphi$ induziert einen Ringhomomorphismus
\maabb {} { Q(R) } { Q(S)
} {.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und seien $R$ und $S$ zwei
\definitionsverweis {integre}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebren von endlichem Typ}{}{.}
Es sei ein
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {Q(R) } { Q(S)
} {}
zwischen den
\definitionsverweis {Quotientenkörpern}{}{}
gegeben. Zeige, dass es eine offene Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einen Morphismus
\maabbdisp {} { U } { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }
} {}
gibt, der $\varphi$ induziert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Man gebe ein Beispiel von zwei affin-algebraischen Kurven $C_1$ und $C_2$ über $\mathbb C$ und einem \definitionsverweis {Morphismus}{}{} \maabbdisp {{\psi}} { C_1 } { C_2 } {,} der \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist, wo aber die Umkehrabbildung nicht stetig in der metrischen Topologie ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Man gebe ein Beispiel von zwei \definitionsverweis {affinen Varietäten}{}{} $V_1$ und $V_2$ und einem \definitionsverweis {Morphismus}{}{} \maabbdisp {{\psi}} {V_1 } { V_2 } {,} der bijektiv ist, wo aber die Umkehrabbildung nicht stetig (in der Zariski-Topologie) ist.
}
{(und daher auch kein Morphismus)} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {quasiaffine Varietät}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ \Gamma (U, {\mathcal O} )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {algebraische Funktion}{}{.}
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q
}
{ = }{ g_i/h_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ = }{ 1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{,}
lokale Darstellungen von $f$ auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D(h_i)
}
{ \subseteq }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {die $U$ überdecken} {} {.}
Zeige, dass das Urbild $f^{-1}(0)$ gleich der abgeschlossenen Menge
\mathl{V(h_1g_1 , \ldots , h_ng_n) \cap U}{} ist.
}
{} {}
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