Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 16/latex

\setcounter{section}{16}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{X=K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} das $K$-Spektrum einer endlich erzeugten kommutativen $K$-Algebra. Zeige, dass ein \definitionsverweis {irreduzibler Filter}{}{} durch offene Mengen der Form $D(f)$ erzeugt wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{X=K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} eine affine Varietät und
\mathl{Z \subseteq X}{} eine abgeschlossene Teilmenge. Zeige, dass der \definitionsverweis {Umgebungsfilter}{}{} $U(Z)$ von offenen Mengen der Form $D(f)$ erzeugt wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Zeige, dass ein \definitionsverweis {Ultrafilter}{}{} \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $U$ eine quasiaffine Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$. Zeige, dass die Einheiten in $\Gamma (U, {\mathcal O}_U )$ den Morphismen von $U$ nach
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ \times } }={\mathbb A}^{1}_{K} \setminus \{0\}}{} entsprechen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $U$ eine \definitionsverweis {quasiaffine Varietät}{}{} über einem \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{} $K$ und sei \maabbdisp {{\psi}} {U} {{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } } } {} ein \definitionsverweis {Morphismus}{}{.} Zeige, dass ${\psi}$ genau dann durch die abgeschlossene Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V({\mathfrak a}) }
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} faktorisiert, wenn ${\mathfrak a}$ im \definitionsverweis {Kern}{}{} des globalen Ringhomomorphismus \maabbdisp {\tilde{\psi}} {K[T_1, \ldots , T_{n}] } { \Gamma (U, {\mathcal O}_U ) } {} liegt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $U$ und $V$ \definitionsverweis {quasiaffine Varietäten}{}{} über einem \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{} $K$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{W }
{ = }{U \uplus V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ihre \definitionsverweis {disjunkte Vereinigung}{}{.} Zeige, dass für jede quasiaffine Varietät $Z$ ein \definitionsverweis {Morphismus}{}{} von $W$ nach $Z$ einfach ein Paar bestehend aus einem Morphismus von $U$ nach $Z$ und einem Morphismus von $V$ nach $Z$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V }
{ = }{V(x^2+y^2-1) }
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der Einheitskreis über einem Körper $K$ und es seien \mathkor {} {P=(a,b)} {und} {Q=(c,d)} {} Punkte auf $V$. Zeige, dass es einen \definitionsverweis {Automorphismus}{}{} \maabb {\varphi} {V} {V } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(P) }
{ =} { Q }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $X$ und $Z$ \definitionsverweis {quasiaffine Varietäten}{}{} über einem \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{} $K$. Zu jeder offenen Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} betrachten wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal F } { \left( U \right) } }
{ \defeq} { { \left\{ \varphi:U \rightarrow Z \mid \varphi \text{ ist ein Morphismus} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass dies eine \definitionsverweis {Garbe}{}{} auf $X$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man beschreibe einen $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} derart, dass die induzierte \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} der $K$-\definitionsverweis {Spektren}{}{} die Addition auf $K$ beschreibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass die Addition, die Multiplikation, das Negative, das Inverse und die Division in $K$ sich als Morphismen realisieren lassen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathl{{\mathfrak a}=(f_1 , \ldots , f_n)}{} ein endlich erzeugtes Ideal. Es sei $f \in R$ ein weiteres Element. Dann nennt man die $R$-Algebra
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A }
{ =} { R[T_1, \ldots , T_{n}]/(f_1 T_{1} + \cdots + f_{n}T_{n}+f) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionswort {erzwingende Algebra}{} zu den
\mathl{f_1 , \ldots , f_n,f}{.} Zeige, dass $A$ folgende Eigenschaft erfüllt: Zu jedem Ringhomomorphismus \maabb {\varphi} {R} {S } {} in einen kommutativen Ring $S$ mit der Eigenschaft
\mathl{\varphi(f) \in {\mathfrak a}S}{} gibt es einen $R$-\definitionsverweis {Algebrahomo\-morphismus}{}{} \maabb {\vartheta} {A} {S } {.} Zeige ebenso, dass dieser Homomorphismus
\betonung{nicht}{} eindeutig bestimmt ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Es seien
\mathl{f_1 , \ldots , f_n,f}{} Elemente in $R$ und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A }
{ =} { R[T_1, \ldots , T_{n}]/(f_1 T_{1} + \cdots + f_{n}T_{n}+f) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionsverweis {erzwingende Algebra}{}{} zu diesen Daten. Charakterisiere die \definitionsverweis {Fasern}{}{} des zugehörigen Morphismus \maabbdisp {} {K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( A \right) } } {K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } } {.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $R$ und $S$ integre $K$-Algebren von endlichem Typ. Es sei \maabb {\varphi} {R} {S } {} ein $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphis\-mus}{}{} mit zugehörigem Morphismus \maabb {=\varphi^*} {K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) } } {K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } } {.} Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{$\varphi$ ist injektiv. }{Das Bild von $\varphi^*$ ist \definitionsverweis {dicht}{}{} in
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{.} }{$\varphi$ induziert einen Ringhomomorphismus
\mathl{Q(R) \rightarrow Q(S)}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und seien $R$ und $S$ zwei \definitionsverweis {integre}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebren von endlichem Typ}{}{.} Es sei ein $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {Q(R) } { Q(S) } {} zwischen den \definitionsverweis {Quotientenkörpern}{}{} gegeben. Zeige, dass es eine offene Teilmenge
\mathl{U \subseteq K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) }}{} und einen Morphismus \maabbdisp {} {U} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } } {} gibt, der $\varphi$ induziert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Man gebe ein Beispiel von zwei affin-algebraischen Kurven $C_1$ und $C_2$ über $\mathbb C$ und einem \definitionsverweis {Morphismus}{}{} \maabbdisp {{\psi}} { C_1} {C_2 } {,} der \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist, wo aber die Umkehrabbildung nicht stetig in der metrischen Topologie ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{8}
{

Man gebe ein Beispiel von zwei affinen Varietäten $V_1$ und $V_2$ und einem \definitionsverweis {Morphismus}{}{} \maabbdisp {{\psi}} {V_1} {V_2 } {,} der bijektiv ist, wo aber die Umkehrungabbildung nicht stetig (in der Zariski-Topologie) ist.

}
{(und daher auch kein Morphismus)} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mathl{U \subseteq K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} eine \definitionsverweis {quasiaffine Varietät}{}{} und sei
\mathl{f \in \Gamma (U, {\mathcal O} )}{} eine \definitionsverweis {algebraische Funktion}{}{.} Es seien
\mathl{q=g_i/h_i}{,}
\mathl{i=1, \ldots, n}{,} lokale Darstellungen von $f$ auf
\mathl{D(h_i)\subseteq U}{.} Zeige, dass das Urbild $f^{-1}(0)$ gleich der abgeschlossenen Menge
\mathl{V(h_1g_1, \ldots ,h_ng_n) \cap U}{} ist.

}
{} {}