Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 15

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Übungsaufgaben

Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass genau dann ein lokaler Ring ist, wenn nur dann eine Einheit ist, wenn oder eine Einheit ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring. Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen.

  1. hat genau ein maximales Ideal
  2. Die Menge der Nichteinheiten bildet ein Ideal in .


Aufgabe

Sei ein kommutativer lokaler Ring. Zeige, dass zusammenhängend ist.


Aufgabe

Sei ein lokaler Ring mit Restekörper . Zeige, dass und genau dann die gleiche Charakteristik haben, wenn einen Körper enthält.


Aufgabe *

Sei ein lokaler Ring und ein Ideal von . Zeige, dass

surjektiv ist.


Aufgabe

Bestimme die Unterringe der rationalen Zahlen , die lokal sind.


Aufgabe

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und . Zeige, dass sämtliche Lokalisierungen von an maximalen Idealen zueinander isomorph sind.


Aufgabe

Sei ein Körper und betrachte das Achsenkreuz

Bestimme für jeden Punkt , ob der lokale Ring an ein Integritätsbereich ist oder nicht.


Aufgabe

Wir betrachten die Neilsche Parabel

über einem algebraisch abgeschlossenen Körper . Zeige, dass sämtliche Lokalisierungen von an Punkten zueinander isomorph sind, aber nicht zur Lokalisierung im Nullpunkt.


Aufgabe

Es sei die Lokalisierung im Nullpunkt der Kurve

und es sei die Lokalisierung des Achsenkreuzes im Nullpunkt. Sind diese beiden lokalen Ringe isomorph?


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei ein Primideal. Zeige, dass genau dann ein minimales Primideal ist, wenn die Reduktion der Lokalisierung ein Körper ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei ein maximales Ideal mit Lokalisierung . Es sei ein Ideal, dass unter der Lokalisierungsabbildung zum Kern gehört. Zeige, dass dann auch eine Lokalisierung von ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und eine endlich erzeugte -Algebra. Es sei die Lokalisierung von an einem maximalen Ideal . Zeige, dass der Restekörper von endlich über ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring. Beweise die Äquivalenz folgender Aussagen.

  1. R ist reduziert.
  2. Für jedes Primideal ist reduziert.
  3. Für jedes maximale Ideal ist reduziert.

Bemerkung: Man sagt daher, dass die Reduziertheit eine lokale Eigenschaft ist.

Man gebe auch ein Beispiel für einen kommutativen Ring, der nicht integer ist, dessen Lokalisierungen an Primidealen aber alle integer sind.

Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring, sei und sei ein Ideal. Zeige, dass genau dann gilt, wenn für alle Lokalisierungen gilt, dass ist.


Aufgabe

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und eine endlich erzeugte kommutative -Algebra. Es seien und zwei topologische Filter in mit . Zeige, dass es einen Ringhomomorphismus

gibt.


Aufgabe

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und eine endlich erzeugte kommutative -Algebra. Sei ein Punkt. Zeige  (ohne Satz 15.12 zu verwenden), dass der Halm ein lokaler Ring ist.


Aufgabe *

Sei ein Körper und eine integre, endlich erzeugte -Algebra mit Quotientenkörper . Sei . Zeige, dass die Menge

offen in ist (dabei bezeichnet den lokalen Ring im Punkt ).


Aufgabe *

Sei ein Körper und seien und integre, endlich erzeugte -Algebren. Es sei

ein -Algebrahomomorphismus und ein maximales Ideal in mit . Die Abbildung induziere einen Isomorphismus . Zeige, dass es dann auch ein , , gibt derart, dass ein Isomorphismus ist.


Aufgabe

Sei eine gerichtete Indexmenge und sei , , ein gerichtetes System von kommutativen Gruppen. Zeige, dass der Kolimes eine kommutative Gruppe ist.


Aufgabe

Sei eine gerichtete Indexmenge und sei , , ein gerichtetes System von Mengen. Es sei eine weitere Menge und zu jedem sei eine Abbildung

mit der Eigenschaft gegeben, dass ist für alle (wobei die Abbildungen des Systems bezeichnen). Beweise die universelle Eigenschaft des Kolimes, nämlich, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung

derart gibt, dass ist, wobei die natürlichen Abbildungen sind.

Zeige ferner, dass falls eine gerichtetes System von Gruppen und falls ebenfalls eine Gruppe ist und alle Gruppenhomomorphismen sind, dass dann auch ein Gruppenhomomorphismus ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Beschreibe die Menge aller -Matrizen mit Rang über einem Körper als -Spektrum einer geeigneten -Algebra. Zeige, dass es eine Isomorphie zwischen einer (nicht leeren) Zariski-offenen Teilmenge von und einer offenen Menge des gibt.


Aufgabe (6 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und sei ein Primideal. Dann ist der Restklassenring ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper und ist ein lokaler Ring mit dem maximalen Ideal . Zeige, dass eine natürliche Isomorphie

vorliegt.

(Man nennt diesen Körper auch den Restekörper zu ).

Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper und sei eine -Algebra von endlichem Typ. Es seien endlich viele Punkte in . Zeige, dass der Umgebungsfilter dieser Punkte durch offene Mengen der Form erzeugt wird.

D.h. es ist zu zeigen, dass es zu offen stets ein gibt mit

Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein Körper, sei eine kommutative -Algebra von endlichem Typ und sei ein multiplikatives System in . Zu definieren wir

Zeige, dass ein topologischer Filter ist. Zeige ferner, dass es einen Ringhomomorphismus

gibt, der eine Isomorphie ist, falls algebraisch abgeschlossen und reduziert ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und betrachte die affine Ebene zusammen mit der -Achse

Zeige, dass die folgende Menge ein saturiertes multiplikatives System ist.

Skizziere die Nullstellenmenge von einigen Polynomen, die oder die nicht zu gehören.

Sei der zugehörige topologische Filter. Vergleiche mit dem Umgebungsfilter zu und dem generischen Filter zu .


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine affine Varietät und seien endlich viele Punkte. Es sei der Umgebungsfilter dieser Punkte und der zugehörige Halm. Zeige, dass genau dann ein lokaler Ring ist, wenn ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und sei ein multiplikatives System. Auf betrachten wir folgende (partielle) Ordnung, und zwar sagen wir , falls eine Potenz von teilt. Zeige, dass die kommutativen Ringe

ein gerichtetes System bilden, und dass für den Kolimes

gilt.



<< | Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018) | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)