Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 16

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Sei das -Spektrum einer endlich erzeugten kommutativen -Algebra. Zeige, dass ein irreduzibler Filter durch offene Mengen der Form erzeugt wird.


Aufgabe

Sei eine affine Varietät und eine abgeschlossene Teilmenge. Zeige, dass der Umgebungsfilter von offenen Mengen der Form erzeugt wird.


Aufgabe

Sei ein topologischer Raum. Zeige, dass ein Ultrafilter irreduzibel ist.


Aufgabe

Sei eine quasiaffine Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper . Zeige, dass die Einheiten in den Morphismen von nach entsprechen.


Aufgabe

Sei eine quasiaffine Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei

ein Morphismus. Zeige, dass genau dann durch die abgeschlossene Menge faktorisiert, wenn im Kern des globalen Ringhomomorphismus

liegt.


Aufgabe

Seien und quasiaffine Varietäten über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei ihre disjunkte Vereinigung. Zeige, dass für jede quasiaffine Varietät ein Morphismus von nach einfach ein Paar bestehend aus einem Morphismus von nach und einem Morphismus von nach ist.


Aufgabe *

Es sei der Einheitskreis über einem Körper und es seien und Punkte auf . Zeige, dass es einen Automorphismus mit

gibt.


Aufgabe

Es seien und quasiaffine Varietäten über einem algebraisch abgeschlossenen Körper . Zu jeder offenen Teilmenge betrachten wir

Zeige, dass dies eine Garbe auf ist.


Aufgabe *

Man beschreibe einen -Algebrahomomorphismus derart, dass die induzierte Spektrumsabbildung der -Spektren die Addition auf beschreibt.


Aufgabe

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass die Addition, die Multiplikation, das Negative, das Inverse und die Division in sich als Morphismen realisieren lassen.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei ein endlich erzeugtes Ideal. Es sei ein weiteres Element. Dann nennt man die -Algebra

die erzwingende Algebra zu den . Zeige, dass folgende Eigenschaft erfüllt: Zu jedem Ringhomomorphismus in einen kommutativen Ring mit der Eigenschaft gibt es einen -Algebrahomomorphismus . Zeige ebenso, dass dieser Homomorphismus nicht eindeutig bestimmt ist.


Aufgabe

Es sei eine kommutative -Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Es seien Elemente in und es sei

die erzwingende Algebra zu diesen Daten. Charakterisiere die Fasern des zugehörigen Morphismus




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien und integre -Algebren von endlichem Typ. Es sei ein -Algebrahomomorphismus mit zugehörigem Morphismus . Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

  1. ist injektiv.
  2. Das Bild von ist dicht in .
  3. induziert einen Ringhomomorphismus .


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien und zwei integre -Algebren von endlichem Typ. Es sei ein -Algebrahomomorphismus

zwischen den Quotientenkörpern gegeben. Zeige, dass es eine offene Teilmenge und einen Morphismus

gibt, der induziert.


Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel von zwei affin-algebraischen Kurven und über und einem Morphismus

der bijektiv ist, wo aber die Umkehrabbildung nicht stetig in der metrischen Topologie ist.


Aufgabe (8 Punkte)

Man gebe ein Beispiel von zwei affinen Varietäten und und einem Morphismus

der bijektiv ist, wo aber die Umkehrungabbildung nicht stetig (in der Zariski-Topologie) ist.

(und daher auch kein Morphismus)

Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine quasiaffine Varietät und sei eine algebraische Funktion. Es seien , , lokale Darstellungen von auf . Zeige, dass das Urbild gleich der abgeschlossenen Menge ist.



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