Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 17

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Seien kommutative Monoide. Zeige, dass durch

ein Untermonoid von gegeben ist, das umfasst.


Aufgabe

Berechne

im Monoidring .


Aufgabe

Berechne

im Monoidring .


Aufgabe

Zeige, dass die Multiplikation auf einem Monoidring zu einem kommutativen Monoid das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz erfüllt.


Aufgabe

Sei ein Körper. Finde ein kommutatives Monoid derart, dass eine Isomorphie

vorliegt.


Aufgabe

Es sei ein kommutatives Monoid und es sei ein Element mit . Es sei ein Körper und es sei der zugehörige Monoidring. Zeige, dass ein idempotentes Element in ist.


Aufgabe

Es sei eine endliche Gruppe . Zeige, dass der Monoidring nicht zusammenhängend ist, obwohl es in der Gruppe außer kein Element gibt, das die Gleichung erfüllt.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines Untermonoids , das nicht endlich erzeugt ist.


Aufgabe

Zeige, dass man den Koordinatenring zum Standardkegel über als einen Monoidring realisieren kann.


Die invertierbaren Elemente in einem Monoid nennt man auch Einheiten des Monoids. Sie bilden die Einheitengruppe des Monoids.

Aufgabe *

Sei ein kommutatives Monoid und ein Körper. Es sei und . Zeige, dass genau dann eine Einheit in ist, wenn eine Einheit in ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Differenzengruppe zu einem kommutativen Monoid in der Tat eine Gruppe ist.


Aufgabe

Sei ein kommutatives Monoid. Zeige, dass die zugehörige Differenzengruppe eine kommutative Gruppe ist, und dass sie folgende universelle Eigenschaft besitzt: Zu jedem Monoidhomomorphismus

in eine Gruppe gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

der fortsetzt.


Aufgabe

Sei ein kommutatives Monoid mit zugehöriger Differenzengruppe . Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

  1. ist ein Monoid mit Kürzungsregel.
  2. Die kanonische Abbildung ist injektiv.
  3. lässt sich als Untermonoid einer Gruppe realisieren.


Aufgabe

Sei ein kommutatives Monoid und ein kommutativer Ring. Charakterisiere, für welche Teilmengen die Teilmenge

ein Ideal in ist.


Aufgabe

Betrachte den Monoidhomomorphismus

Beschreibe die zugehörige Abbildung zwischen den Monoidringen (für einen Körper ) und den zugehörigen -Spektren.


Aufgabe

Wir betrachten die kommutativen Monoide und . Zeige, dass ein Monoidhomomorphismus von nach eindeutig durch eine Matrix (mit Spalten und Zeilen) mit Einträgen aus bestimmt ist.

Wie sieht die zugehörige Spektrumsabbildung aus?

Aufgabe

Es sei eine quadratische -Matrix mit Einträgen aus mit der zugehörigen Monoidabbildung und der zugehörigen Spektrumsabbildung

wobei ein unendlicher Körper sei. Zeige, dass genau dann ist, wenn surjektiv auf eine offene Menge aus abbildet.


Die nächste Aufgabe verwendet die folgende Definition.

Ein Filter in einem kommutativen Monoid ist ein Untermonoid, das zusätzlich teilerstabil ist. D.h. falls ist und gilt, so ist auch .


Aufgabe

Sei ein kommutatives Monoid. Zeige, dass es in einen kleinsten Filter gibt und dass dieser eine Gruppe bildet.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring. Beweise die -Algebraisomorphie

mit Hilfe der universellen Eigenschaften von Monoidringen und Nenneraufnahmen.


Aufgabe

Sei ein kommutatives Monoid und sei . Wir betrachten die Menge

wobei die Relation

genau dann gilt, wenn es ein derart gibt, dass

in gilt.

  1. Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.
  2. Definiere auf eine Monoidstruktur.
  3. Es sei ein kommutativer Ring und sei das Monom zu im Monoidring. Zeige


Aufgabe

Seien endlich erzeugte kommutative Monoide mit den -Spektren und . Zeige, dass man für einen Monoidhomomorphismus die zugehörige Spektrumsabbildung auf zwei verschiedene Weisen definieren kann, die aber inhaltlich übereinstimmen.


Aufgabe

Wir betrachten das kommutative Monoid , das durch die drei Erzeuger und die einzige Relation gegeben ist. Bestimme das -Spektrum zu für verschiedene Körper .


Aufgabe

Es sei ein endliches kommutatives Monoid. Zeige, dass das -Spektrum zu auch endlich ist.


Aufgabe

Berechne in das Produkt


Aufgabe

Zeige, dass man jedes Element ( ein Körper) als ein Polynom in mit einem schreiben kann, dass es also ein derart gibt, dass gilt. Welches Polynom kann man bei

nehmen?


Aufgabe

Zeige, dass in das Element keine Zerlegung in irreduzible Elemente besitzt.


Aufgabe

Zeige, dass in das Element nicht irreduzibel ist.


Aufgabe

Zeige, dass es in keine irreduziblen Elemente gibt.


Aufgabe *

Bestimme sämtliche Teiler von im Ring , wobei ein Körper ist.


Aufgabe *

Bestimme die Einheiten im Ring , wobei ein Körper ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

Seien endlich erzeugte kommutative Monoide. Zeige, dass für einen Körper der Ringhomomorphismus genau dann endlich ist, wenn es zu jedem ein mit gibt.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei die additive Gruppe der rationalen Zahlen. Bestimme . Wie sieht es aus, wenn man durch ersetzt?


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Homomorphismus von kommutativen Monoiden. Zeige, dass die Menge aller Punkte aus , die unter der Spektrumsabbildung auf den Einspunkt   (das ist der Punkt, der der konstanten Abbildung entspricht) abgebildet werden, selbst die Struktur eines -Spektrums eines geeigneten Monoids besitzt.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten Monoide der Form . Beschreibe allgemein sowie für die Körper . Finde die idempotenten Elemente von .


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein kommutatives Monoid. Definiere eine Bijektion zwischen den folgenden Objekten.

  1. Filter in .
  2. .
  3. . (Dabei ist ein Körper.)


Aufgabe (3 Punkte)

Seien und kommutative Monoide und sei ein Körper. In welcher Beziehung steht zu und ?


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und eine Gruppe. Dann können wir den Monoidring betrachten. Sei nun weiter ein -Modul. Zeige, dass

  1. nichts anderes ist als ein -Vektorraum zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus .
  2. ein -Modulhomomorphismus eine -lineare Abbildung ist, für die zusätzlich für alle gilt.

Bemerkung: heißt dann eine Darstellung von . Solche Darstellungen sind oft einfacher zu handhaben als und man kann mit Hilfe von oft hilfreiche Erkenntnisse über selbst gewinnen.


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