Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 2/latex

\setcounter{section}{2}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte in
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } }}{} die beiden Ebenen
\mathdisp {E_1=V(3x+4y+5z) \text{ und } E_2 =V(2x-y+3z)} { . }
Parametrisiere den Schnitt
\mathl{E_1 \cap E_2}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte \mathkor {} {(-1,1)} {und} {(4,-2)} {} verläuft.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden $G$ und des Kreises $K$, wobei $G$ durch die Gleichung
\mathl{3y-4x+2=0}{} und $K$ durch den Mittelpunkt $(2,5)$ und den Radius $7$ gegeben ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kurven
\mathdisp {C=V(x^2+2y^2+3xy+x-2) \text{ und } L=V(4x+3y-5)} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige: Der Durchschnitt von zwei verschiedenen Kreisen in der affinen Ebene ist der Durchschnitt eines Kreises mit einer Geraden.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises $E$ mit dem Kreis $K$, der den Mittelpunkt $(1,0)$ und den Radius $2$ besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die Schnittpunkte der beiden Ellipsen \mathkor {} {{ \left\{ (x,y) \in\R^2 \mid x^2+xy+3y^2 = 3 \right\} }} {und} {{ \left\{ (x,y) \in\R^2 \mid 2x^2-xy+y^2 = 4 \right\} }} {.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Standardparabel.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid y = x^2 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Standardparabel und $K$ der Kreis mit dem Mittelpunkt $(0,1)$ und dem Radius $1$. \aufzaehlungfuenf{Skizziere \mathkor {} {P} {und} {K} {.} }{Erstelle eine Gleichung für $K$. }{Bestimme die Schnittpunkte
\mathdisp {P \cap K} { . }
}{Beschreibe die untere Kreisbogenhälfte als Graph einer Funktion von
\mathl{[-1,1]}{} nach $\R$. }{Bestimme, wie die Parabel relativ zum unteren Kreisbogen verläuft. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme alle simultanen Lösungen der beiden Gleichungen
\mathdisp {x^3+y^2 = 2 \text{ und } 2xy =3} { }
für die Körper
\mathl{K= \Z/(3)}{,} $\Z/(5)$ und $\Z/(7)$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Varietät der kommutierenden $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{,} also die Menge der Matrizenpaare
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V }
{ =} { { \left\{ (A,B) \mid A,B \in \operatorname{Mat}_{ 2 } (K) , \, AB = BA \right\} } }
{ \subseteq} { \operatorname{Mat}_{ 2 } (K) \times \operatorname{Mat}_{ 2 } (K) }
{ \cong} { { {\mathbb A}_{ K }^{ 8 } } }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass dies eine \definitionsverweis {affine Varietät}{}{} ist, und bestimme möglichst einfache Gleichungen, die diese Varietät beschreiben. }{Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {\pi} {V} { \operatorname{Mat}_{ 2 } (K) } {(A,B)} { A } {,} \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist. }{Bestimme das Urbild von
\mathl{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}}{} unter $\pi$. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ (a_1 , \ldots , a_n) }
{ \in }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das zugehörige Ideal
\mathdisp {(X_1-a_1, X_2-a_2 , \ldots , X_n-a_n)} { }
\definitionsverweis {maximal}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und
\mathl{n \geq 2}{.} Zeige, dass ein Punkt
\mathl{P \in { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} nicht die \definitionsverweis {Nullstellenmenge}{}{} zu einem einzigen Polynom ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} und
\mathl{M=\{ P_1,P_2 , \ldots , P_m \} \in { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} eine endliche Menge von Punkten. Zeige, dass $M$ die \definitionsverweis {Nullstellenmenge}{}{} eines einzigen Polynoms ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme Idealerzeuger für ein Ideal
\mathl{\mathfrak a \subseteq \R [X,Y,Z]}{,} dessen Nullstellenmenge genau die vier Punkte
\mathdisp {(2,3,4), (1,1/5,0), (0,0,1), (-1,-2,\sqrt{3}) \in { {\mathbb A}_{ \R }^{ 3 } }} { }
sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}, {\mathfrak b} }
{ \subseteq }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {Ideale}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$. Zeige, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} \cdot {\mathfrak b} }
{ \subseteq} { {\mathfrak a} \cap {\mathfrak b} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das \definitionsverweis {Produkt}{}{} von \definitionsverweis {Hauptidealen}{}{} wieder ein Hauptideal ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {I} {und} {J} {} \definitionsverweis {Ideale}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ und sei
\mathl{n \in \N}{.} Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(I+J)^n }
{ =} { I^n + I^{n-1}J+ I^{n-2}J^2 + \cdots + I^2J^{n-2} + IJ^{n-1} +J^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Wir betrachten in
\mathl{K[X,Y]}{} die beiden \definitionsverweis {Primideale}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} }
{ =} { (X) }
{ \subset} { (X,Y) }
{ =} { {\mathfrak m} }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass es kein Ideal ${\mathfrak a}$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} }
{ =} { {\mathfrak a} \cdot {\mathfrak m} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{R[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $R$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \subseteq }{ R[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} mit \definitionsverweis {Erzeugern}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ =} { (F_0, F_1 , \ldots , F_n) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F_0 }
{ = }{X-r }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mathl{r \in R}{} sei. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i }
{ \geq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} seien
\mathl{G_i}{} die Elemente aus $R$, die entstehen, wenn man in $F_i$ die Variable $X$ durch $r$ ersetzt. Zeige, dass eine \definitionsverweis {Ringisomorphie}{}{} der \definitionsverweis {Restklassenringe}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R[X] / {\mathfrak a} }
{ \cong} { R/(G_1 , \ldots , G_n) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} vorliegt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme alle Lösungen der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+y^2+xy }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für die Körper
\mathl{K= \mathbb F_2}{,} $\mathbb F_4$ und $\mathbb F_8$. Man kann für die Körper die Darstellungen auf [[Endliche Körper/Nicht Primkörper/Einige Operationstafeln]] verwenden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mathl{M=\{ P_1,P_2 , \ldots , P_m \} \in { {\mathbb A}_{ \R }^{ n } }}{} eine endliche Menge von Punkten. Zeige, dass $M$ die \definitionsverweis {Nullstellenmenge}{}{} eines einzigen Polynoms ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass die Menge der reellen \definitionsverweis {trigonalisierbaren}{}{} $(2\times 2)$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} im
\mathl{{ {\mathbb A}_{ \R }^{ 4 } }}{} keine \definitionsverweis {affin-algebraische Menge}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die Schnittpunkte der beiden Ellipsen \mathkor {} {{ \left\{ (x,y) \in\R^2 \mid 4x^2-3xy+2y^2 = 7 \right\} }} {und} {{ \left\{ (x,y) \in\R^2 \mid 3x^2+4xy+5y^2 = 8 \right\} }} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $S$ das Nullstellengebilde in ${ {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } }$, das durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+y^2 }
{ =} { z^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben ist. Der Schnitt von $S$ mit einer Ebene $E$ ist eine Kurve und wird in $E$ durch eine Gleichung in zwei \zusatzklammer {geeigneten} {} {} Variablen beschrieben. Finde eine solche Gleichung für die Ebenen
\mathdisp {E_1=V( x),\, E_2=V(z-1), \, E_3 =V(x+2y+3z ),\, E_4 = V(3x-2z)} { . }

}
{} {}