Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 3

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die nicht-leeren Zariski-offenen Teilmengen auf der affinen Geraden genau die (maximalen) Definitionsbereiche von rationalen Funktionen sind.


Aufgabe

Es sei ein unendlicher Körper und es sei ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die durch definierte Funktion unendlich viele Werte annimmt.


Aufgabe

Skizziere die reellen Nullstellengebilde von und bestimme das Verschwindungsideal zu den affin-algebraischen Mengen , die aus allen Geraden durch den Nullpunkt und durch die Eckpunkte eines regulären -Ecks (mit als einem Eck) besteht.


Aufgabe

Man beschreibe eine Abbildung

die bezüglich der Zariski-Topologie stetig ist, die aber nicht durch ein Polynom gegeben ist.


Aufgabe

Es sei

eine affin-algebraische Menge. Zeige, dass unter der Identifizierung

die Teilmenge auch eine affin-algebraische Menge des ist. Zeige, dass die Umkehrung nicht gilt.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum und eine nichtleere Teilmenge. Zeige, dass durch

eine wohldefinierte, stetige Funktion gegeben ist.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Zeige, dass genau dann abgeschlossen ist, wenn es eine stetige Funktion mit

gibt.


Aufgabe

Zeige, dass die offenen und die abgeschlossenen Bälle bzw. im zu nicht offen bzw. abgeschlossen in der Zariski-Topologie sind.


Aufgabe

Charakterisiere in die Radikale mit Hilfe der Primfaktorzerlegung.


Ein Element eines kommutativen Ringes heißt nilpotent, wenn ist für eine natürliche Zahl .


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und es seien nilpotente Elemente. Zeige, dass dann die Summe ebenfalls nilpotent ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und ein nilpotentes Element. Zeige, dass eine Einheit ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und ein nilpotentes Element. Konstruiere dazu ein lineares Polynom in , das eine Einheit ist. Man gebe auch das Inverse dazu an.


Ein kommutativer Ring heißt reduziert, wenn das einzige nilpotente Element von ist.


Aufgabe *

Zeige, dass ein Ideal in einem kommutativen Ring genau dann ein Radikal ist, wenn der Restklassenring reduziert ist.


Aufgabe

Es sei ein Ideal in einem kommutativen Ring . Zeige, dass die Potenzen , alle dasselbe Radikal besitzen.


Aufgabe

Zeige, dass ein Primideal ein Radikal ist.


Aufgabe

Seien und kommutative Ringe und sei ein Ringhomomorphismus. Sei ein Radikal in . Zeige, dass das Urbild ein Radikal in ist.


Aufgabe

Seien und zwei Ideale in derart, dass ihre Radikale gleich sind. Zeige, dass dann auch ihre Nullstellenmengen übereinstimmen. Zeige durch ein Beispiel, dass die Umkehrung nicht stimmt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Sei

eine Abbildung, die durch Polynome in Variablen gegeben sei. Zeige, dass stetig bezüglich der Zariski-Topologie ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein unendlicher Körper. Zeige, dass jede nichtleere Zariski-offene Menge dicht ist.

Tipp: Induktion über .

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme zu den folgenden Teilmengen der affinen Ebene den Zariski-Abschluss.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. .


Die folgende Aufgabe benutzt einige weiterführende topologische Begriffe.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper.

  1. Man zeige, dass für bzw. die Standardtopologie (die metrische oder euklidische Topologie) feiner ist als die Zariski-Topologie.
  2. Man zeige, dass für die Zariski-Topologie mit der kofiniten Topologie übereinstimmt. Gilt dies auch für mit ?
  3. Wann ist die Zariski-Topologie , wann ist sie hausdorffsch?
  4. Wie sieht die Zariski-Topologie aus, wenn ein endlicher Körper ist?



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