Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 2

Übungsaufgaben

Aufgabe

Betrachte in ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$ die beiden Ebenen

$E_{1}=V(3x+4y+5z){\text{ und }}E_{2}=V(2x-y+3z).$

Parametrisiere den Schnitt ${}E_{1}\cap E_{2}$.

Aufgabe *

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte ${}(-1,1)$ und ${}(4,-2)$ verläuft.

Aufgabe

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden ${}G$ und des Kreises ${}K$, wobei ${}G$ durch die Gleichung ${}3y-4x+2=0$ und ${}K$ durch den Mittelpunkt ${}(2,5)$ und den Radius ${}7$ gegeben ist.

Aufgabe

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kurven

$C=V(x^{2}+2y^{2}+3xy+x-2){\text{ und }}L=V(4x+3y-5).$

Aufgabe

Zeige: Der Durchschnitt von zwei verschiedenen Kreisen in der affinen Ebene ist der Durchschnitt eines Kreises mit einer Geraden.

Aufgabe *

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises ${}E$ mit dem Kreis ${}K$, der den Mittelpunkt ${}(1,0)$ und den Radius ${}2$ besitzt.

Aufgabe *

Bestimme die Schnittpunkte der beiden Ellipsen ${}{\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+xy+3y^{2}=3\right\}}$ und ${}{\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 2x^{2}-xy+y^{2}=4\right\}}$.

Aufgabe *

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Standardparabel.

Aufgabe *

Es sei

${}P={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=x^{2}\right\}}\,$

die Standardparabel und ${}K$ der Kreis mit dem Mittelpunkt ${}(0,1)$ und dem Radius ${}1$.

1. Skizziere ${}P$ und ${}K$.
2. Erstelle eine Gleichung für ${}K$.
3. Bestimme die Schnittpunkte

   $P\cap K.$

4. Beschreibe die untere Kreisbogenhälfte als Graph einer Funktion von ${}[-1,1]$ nach ${}\mathbb {R}$.
5. Bestimme, wie die Parabel relativ zum unteren Kreisbogen verläuft.

Aufgabe

Bestimme alle simultanen Lösungen der beiden Gleichungen

$x^{3}+y^{2}=2{\text{ und }}2xy=3$

für die Körper ${}K=\mathbb {Z} /(3)$, ${}\mathbb {Z} /(5)$ und ${}\mathbb {Z} /(7)$.

Aufgabe *

Wir betrachten die Varietät der kommutierenden ${}2\times 2$- Matrizen, also die Menge der Matrizenpaare

${}V={\left\{(A,B)\mid A,B\in \operatorname {Mat} _{2}(K),\,AB=BA\right\}}\subseteq \operatorname {Mat} _{2}(K)\times \operatorname {Mat} _{2}(K)\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{8}}\,.$

1. Zeige, dass dies eine affine Varietät ist, und bestimme möglichst einfache Gleichungen, die diese Varietät beschreiben.
2. Zeige, dass die Abbildung

   $\pi \colon V\longrightarrow \operatorname {Mat} _{2}(K),\,(A,B)\longmapsto A,$

   surjektiv ist.

3. Bestimme das Urbild von ${}{\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}$ unter ${}\pi$.

Aufgabe

Zeige, dass zu einem Punkt ${}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ das zugehörige Ideal

$(X_{1}-a_{1},X_{2}-a_{2},\ldots ,X_{n}-a_{n})$

maximal ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}n\geq 2$. Zeige, dass ein Punkt ${}P\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ nicht die Nullstellenmenge zu einem einzigen Polynom ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper und ${}M=\{P_{1},P_{2},\ldots ,P_{m}\}\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine endliche Menge von Punkten. Zeige, dass ${}M$ die Nullstellenmenge eines einzigen Polynoms ist.

Aufgabe

Bestimme Idealerzeuger für ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq \mathbb {R} [X,Y,Z]$, dessen Nullstellenmenge genau die vier Punkte

$(2,3,4),(1,1/5,0),(0,0,1),(-1,-2,{\sqrt {3}})\in {{\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{3}}$

sind.

Aufgabe

Es seien ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$ Ideale in einem kommutativen Ring ${}R$. Zeige, dass die Beziehung

${}{\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}\,$

gilt.

Aufgabe

Zeige, dass das Produkt von Hauptidealen wieder ein Hauptideal ist.

Aufgabe *

Es seien ${}I$ und ${}J$ Ideale in einem kommutativen Ring ${}R$ und sei ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige die Gleichheit

${}(I+J)^{n}=I^{n}+I^{n-1}J+I^{n-2}J^{2}+\cdots +I^{2}J^{n-2}+IJ^{n-1}+J^{n}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten in ${}K[X,Y]$ die beiden Primideale

${}{\mathfrak {p}}=(X)\subset (X,Y)={\mathfrak {m}}\,.$

Zeige, dass es kein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ mit

${}{\mathfrak {p}}={\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {m}}\,$

gibt.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R[X]$ ein Ideal mit Erzeugern

${}{\mathfrak {a}}=(F_{0},F_{1},\ldots ,F_{n})\,,$

wobei ${}F_{0}=X-r$ mit ${}r\in R$ sei. Für ${}i\geq 1$ seien ${}G_{i}$ die Elemente aus ${}R$, die entstehen, wenn man in ${}F_{i}$ die Variable ${}X$ durch ${}r$ ersetzt. Zeige, dass eine Ringisomorphie der Restklassenringe

${}R[X]/{\mathfrak {a}}\cong R/(G_{1},\ldots ,G_{n})\,$

vorliegt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme alle Lösungen der Gleichung

${}x^{2}+y^{2}+xy=1\,$

für die Körper ${}K=\mathbb {F} _{2}$, ${}\mathbb {F} _{4}$ und ${}\mathbb {F} _{8}$. Man kann für die Körper diese Darstellungen verwenden.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}M=\{P_{1},P_{2},\ldots ,P_{m}\}\in {{\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{n}}$ eine endliche Menge von Punkten. Zeige, dass ${}M$ die Nullstellenmenge eines einzigen Polynoms ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Menge der reellen trigonalisierbaren ${}(2\times 2)$- Matrizen im ${}{{\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{4}}$ keine affin-algebraische Menge ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte der beiden Ellipsen ${}{\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 4x^{2}-3xy+2y^{2}=7\right\}}$ und ${}{\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 3x^{2}+4xy+5y^{2}=8\right\}}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}S$ das Nullstellengebilde in ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$, das durch die Gleichung

${}x^{2}+y^{2}=z^{2}\,$

gegeben ist. Der Schnitt von ${}S$ mit einer Ebene ${}E$ ist eine Kurve und wird in ${}E$ durch eine Gleichung in zwei (geeigneten) Variablen beschrieben. Finde eine solche Gleichung für die Ebenen

$E_{1}=V(x),\,E_{2}=V(z-1),\,E_{3}=V(x+2y+3z),\,E_{4}=V(3x-2z).$