Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 2

Übungsaufgaben

Aufgabe

Betrachte in $𝔸_{K}^{3}$ die beiden Ebenen

E_{1} = V (3 x + 4 y + 5 z) und E_{2} = V (2 x - y + 3 z) .

Parametrisiere den Schnitt $E_{1} \cap E_{2}$ .

Aufgabe *

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte $(- 1, 1)$ und $(4, - 2)$ verläuft.

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden $G$ und des Kreises $K$ , wobei $G$ durch die Gleichung $3 y - 4 x + 2 = 0$ und $K$ durch den Mittelpunkt $(2, 5)$ und den Radius $7$ gegeben sind.

Aufgabe

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kurven

C = V (x^{2} + 2 y^{2} + 3 x y + x - 2) und L = V (4 x + 3 y - 5) .

Aufgabe

Zeige: Der Durchschnitt von zwei verschiedenen Kreisen in der affinen Ebene ist der Durchschnitt eines Kreises mit einer Geraden.

Aufgabe *

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises $E$ mit dem Kreis $K$ , der den Mittelpunkt $(1, 0)$ und den Radius $2$ besitzt.

Aufgabe *

Bestimme die Schnittpunkte der beiden Ellipsen

{(x, y) \in ℝ^{2} ∣ x^{2} + x y + 3 y^{2} = 3} und {(x, y) \in ℝ^{2} ∣ 2 x^{2} - x y + y^{2} = 4} .

Aufgabe *

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Standardparabel.

Aufgabe *

Es sei

P = {(x, y) \in ℝ^{2} ∣ y = x^{2}}

die Standardparabel und $K$ der Kreis mit dem Mittelpunkt $(0, 1)$ und dem Radius $1$ .

Skizziere $P$ und $K$ .
Erstelle eine Gleichung für $K$ .
Bestimme die Schnittpunkte
$P \cap K .$
Beschreibe die untere Kreisbogenhälfte als Graph einer Funktion von $[- 1, 1]$ nach $ℝ$ .
Bestimme, wie die Parabel relativ zum unteren Kreisbogen verläuft.

Aufgabe

Bestimme alle simultanen Lösungen der beiden Gleichungen

x^{3} + y^{2} = 2 und 2 x y = 3

für die Körper $K = ℤ / (3)$ , $ℤ / (5)$ und $ℤ / (7)$ .

Aufgabe *

Wir betrachten die Varietät der kommutierenden $2 \times 2$ -Matrizen, also die Menge der Matrizenpaare

V = {(A, B) ∣ A, B \in {Mat}_{2} (K), A B = B A} \subseteq {Mat}_{2} (K) \times {Mat}_{2} (K) ≅ 𝔸_{K}^{8} .

Zeige, dass dies eine affine Varietät ist, und bestimme möglichst einfache Gleichungen, die diese Varietät beschreiben.
Zeige, dass die Abbildung
$π : V ⟶ {Mat}_{2} (K), (A, B) ⟼ A,$

surjektiv ist.
Bestimme das Urbild von $(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix})$ unter $π$ .

Aufgabe

Zeige, dass zu einem Punkt $P = (a_{1}, \dots, a_{n}) \in 𝔸_{K}^{n}$ das zugehörige Ideal

(X_{1} - a_{1}, X_{2} - a_{2}, \dots, X_{n} - a_{n})

maximal ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $n \geq 2$ . Zeige, dass ein Punkt $P \in 𝔸_{K}^{n}$ nicht die Nullstellenmenge zu einem einzigen Polynom ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein endlicher Körper und $M = {P_{1}, P_{2}, \dots, P_{m}} \subseteq 𝔸_{K}^{n}$ eine endliche Menge von Punkten. Zeige, dass $M$ die Nullstellenmenge eines einzigen Polynoms ist.

Aufgabe

Bestimme Idealerzeuger für ein Ideal $𝔞 \subseteq ℝ [X, Y, Z]$ , dessen Nullstellenmenge genau die vier Punkte

(2, 3, 4), (1, 1 / 5, 0), (0, 0, 1), (- 1, - 2, \sqrt{3}) \in 𝔸_{ℝ}^{3}

sind.

Aufgabe

Es seien $𝔞, 𝔟 \subseteq R$ Ideale in einem kommutativen Ring $R$ . Zeige, dass die Beziehung

𝔞 \cdot 𝔟 \subseteq 𝔞 \cap 𝔟

gilt.

Aufgabe

Zeige, dass das Produkt von Hauptidealen wieder ein Hauptideal ist.

Aufgabe *

Es seien $I$ und $J$ Ideale in einem kommutativen Ring $R$ und sei $n \in ℕ$ . Zeige die Gleichheit

(I + J)^{n} = I^{n} + I^{n - 1} J + I^{n - 2} J^{2} + \dots + I^{2} J^{n - 2} + I J^{n - 1} + J^{n} .

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Wir betrachten in $K [X, Y]$ die beiden Primideale

𝔭 = (X) \subset (X, Y) = 𝔪 .

Zeige, dass es kein Ideal $𝔞$ mit

𝔭 = 𝔞 \cdot 𝔪

gibt.

Aufgabe *

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $R [X]$ der Polynomring über $R$ . Es sei $𝔞 \subseteq R [X]$ ein Ideal mit Erzeugern

𝔞 = (F_{0}, F_{1}, \dots, F_{n}),

wobei $F_{0} = X - r$ mit $r \in R$ sei. Für $i \geq 1$ seien $G_{i}$ die Elemente aus $R$ , die entstehen, wenn man in $F_{i}$ die Variable $X$ durch $r$ ersetzt. Zeige, dass eine Ringisomorphie der Restklassenringe

R [X] / 𝔞 ≅ R / (G_{1}, \dots, G_{n})

vorliegt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme alle Lösungen der Gleichung

x^{2} + y^{2} + x y = 1

für die Körper $K = 𝔽_{2}$ , $𝔽_{4}$ und $𝔽_{8}$ . Man kann für die Körper diese Darstellungen verwenden.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $M = {P_{1}, P_{2}, \dots, P_{m}} \subseteq 𝔸_{ℝ}^{n}$ eine endliche Menge von Punkten. Zeige, dass $M$ die Nullstellenmenge eines einzigen Polynoms ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Menge der reellen trigonalisierbaren $(2 \times 2)$ -Matrizen im $𝔸_{ℝ}^{4}$ keine affin-algebraische Menge ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte der beiden Ellipsen

{(x, y) \in ℝ^{2} ∣ 4 x^{2} - 3 x y + 2 y^{2} = 7} und {(x, y) \in ℝ^{2} ∣ 3 x^{2} + 4 x y + 5 y^{2} = 8} .

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $S$ das Nullstellengebilde in $𝔸_{K}^{3}$ , das durch die Gleichung

x^{2} + y^{2} = z^{2}

gegeben ist. Der Schnitt von $S$ mit einer Ebene $E$ ist eine Kurve und wird in $E$ durch eine Gleichung in zwei (geeigneten) Variablen beschrieben. Finde eine solche Gleichung für die Ebenen

E_{1} = V (x), E_{2} = V (z - 1), E_{3} = V (x + 2 y + 3 z), E_{4} = V (3 x - 2 z) .

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