Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 2

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Betrachte in die beiden Ebenen

Parametrisiere den Schnitt .


Aufgabe *

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte und verläuft.


Aufgabe

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden und des Kreises , wobei durch die Gleichung und durch den Mittelpunkt und den Radius gegeben ist.


Aufgabe

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kurven


Aufgabe

Zeige: Der Durchschnitt von zwei verschiedenen Kreisen in der affinen Ebene ist der Durchschnitt eines Kreises mit einer Geraden.


Aufgabe *

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit dem Kreis , der den Mittelpunkt und den Radius besitzt.


Aufgabe *

Bestimme die Schnittpunkte der beiden Ellipsen und .


Aufgabe *

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Standardparabel.


Aufgabe *

Es sei

die Standardparabel und der Kreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius .

  1. Skizziere und .
  2. Erstelle eine Gleichung für .
  3. Bestimme die Schnittpunkte
  4. Beschreibe die untere Kreisbogenhälfte als Graph einer Funktion von nach .
  5. Bestimme, wie die Parabel relativ zum unteren Kreisbogen verläuft.


Aufgabe

Bestimme alle simultanen Lösungen der beiden Gleichungen

für die Körper , und .


Aufgabe *

Wir betrachten die Varietät der kommutierenden -Matrizen, also die Menge der Matrizenpaare

  1. Zeige, dass dies eine affine Varietät ist, und bestimme möglichst einfache Gleichungen, die diese Varietät beschreiben.
  2. Zeige, dass die Abbildung

    surjektiv ist.

  3. Bestimme das Urbild von unter .


Aufgabe

Zeige, dass zu einem Punkt das zugehörige Ideal

maximal ist.


Aufgabe

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und . Zeige, dass ein Punkt nicht die Nullstellenmenge zu einem einzigen Polynom ist.


Aufgabe

Es sei ein endlicher Körper und eine endliche Menge von Punkten. Zeige, dass die Nullstellenmenge eines einzigen Polynoms ist.


Aufgabe

Bestimme Idealerzeuger für ein Ideal , dessen Nullstellenmenge genau die vier Punkte

sind.


Aufgabe

Es seien Ideale in einem kommutativen Ring . Zeige, dass die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Zeige, dass das Produkt von Hauptidealen wieder ein Hauptideal ist.


Aufgabe *

Es seien und Ideale in einem kommutativen Ring und sei . Zeige die Gleichheit


Aufgabe

Es sei ein Körper. Wir betrachten in die beiden Primideale

Zeige, dass es kein Ideal mit

gibt.


Aufgabe *

Es sei ein kommutativer Ring und der Polynomring über . Es sei ein Ideal mit Erzeugern

wobei mit sei. Für seien die Elemente aus , die entstehen, wenn man in die Variable durch ersetzt. Zeige, dass eine Ringisomorphie der Restklassenringe

vorliegt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme alle Lösungen der Gleichung

für die Körper , und . Man kann für die Körper diese Darstellungen verwenden.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine endliche Menge von Punkten. Zeige, dass die Nullstellenmenge eines einzigen Polynoms ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Menge der reellen trigonalisierbaren -Matrizen im keine affin-algebraische Menge ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte der beiden Ellipsen und .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei das Nullstellengebilde in , das durch die Gleichung

gegeben ist. Der Schnitt von mit einer Ebene ist eine Kurve und wird in durch eine Gleichung in zwei (geeigneten) Variablen beschrieben. Finde eine solche Gleichung für die Ebenen



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