Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 1
- Übungsaufgaben
Aufgabe
Skizziere im die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.
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Aufgabe
Berechne den Durchschnitt der Kurven aus Aufgabe 1.1 mit den folgenden Geraden.
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Aufgabe *
- Finde eine ganzzahlige Lösung
für die Gleichung
- Zeige, dass
eine Lösung für die Gleichung
ist.
Aufgabe *
Aufgabe
Es sei ein Körper. Das Bild der durch
definierten Kurve heißt Neilsche Parabel. Zeige, dass ein Punkt genau dann zu diesem Bild gehört, wenn er die Gleichung erfüllt.
Aufgabe
Es sei das Bild unter der polynomialen Abbildung
Bestimme ein Polynom in zwei Variablen derart, dass auf dem Nullstellengebilde zu liegt.
Aufgabe
Wir betrachten die Kurve
a) Zeige, dass die Bildpunkte der Kurve die Gleichung
erfüllen.
b) Zeige, dass jeder Punkt mit zum Bild der Kurve gehört.
c) Zeige, dass es genau zwei Punkte und mit identischem Bildpunkt gibt, und dass ansonsten die Abbildung injektiv ist.
Aufgabe
Diskutiere den Zusammenhang zwischen ebenen algebraischen Kurven und dem Satz über implizite Funktionen.
Aufgabe
Sei . Bestimme alle Punkte in , die auf der Kurve liegen, die durch die Gleichung
gegeben ist. Wie viele Lösungen gibt es?
Aufgabe *
Finde eine Gerade , die die Kurve
in genau einem Punkt schneidet.
Aufgabe *
Zeige, dass die Neilsche Parabel
jede Gerade durch den Punkt in mindestens einem weiteren Punkt trifft.
Aufgabe *
Begründe analytisch, dass es einen reellen Schnittpunkt des Einheitskreises mit der Neilschen Parabel gibt und bestimme numerisch die reelle -Koordinate eines solchen Schnittpunktes mit einem Fehler .
Aufgabe
Es sei ein Körper und es sei
eine durch zwei Polynome gegebene Abbildung. Es sei das Bild dieser Abbildung und es sei eine Gerade. Zeige, dass ist oder dass der Durchschnitt endlich ist.
Aufgabe
Multipliziere in die beiden Polynome
Aufgabe
Multipliziere in die beiden Polynome
Aufgabe
Es sei ein Integritätsbereich. Zeige, dass dann auch der Polynomring integer ist.
Aufgabe *
Es sei ein Integritätsbereich und der Polynomring über . Zeige, dass die Einheiten von genau die Einheiten von sind.
Aufgabe *
Es sei ein Körper. Zeige, dass die beiden folgenden Eigenschaften äquivalent sind:
- ist algebraisch abgeschlossen.
- Jedes nicht-konstante Polynom zerfällt in Linearfaktoren.
Aufgabe
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Bestimme in die irreduziblen Polynome.
Aufgabe
Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass nicht endlich sein kann.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Betrachte Gleichungen der Form
über . Skizziere die verschiedenen Lösungsmengen für die Koeffizienten .
Aufgabe (3 Punkte)
Führe in folgende Polynomdivision aus.
Aufgabe (5 Punkte)
Bestimme im Polynomring alle irreduziblen Polynome vom Grad .
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung
für die Körper , und .
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei das Bild unter der polynomialen Abbildung
Bestimme ein Polynom in zwei Variablen derart, dass auf dem Nullstellengebilde zu liegt.
Aufgabe (4 Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
die einem Punkt den eindeutigen Schnittpunkt der durch die beiden Punkte und gegebenen Geraden mit dem Einheitskreis
zuordnet. Zeige, dass diese Abbildung wohldefiniert ist und bestimme die funktionalen Ausdrücke, die diese Abbildung beschreiben. Zeige, dass differenzierbar ist. Ist injektiv, ist surjektiv?
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