Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 21/latex

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\setcounter{section}{21}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \subseteq }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {numerisches Monoid}{}{,} das von teilerfremden Erzeugern erzeugt werde, es sei
\mathl{K[M]}{} der \definitionsverweis {Monoidring}{}{} zu $M$ über einem Körper $K$ und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ =} { K[M]_{\mathfrak m} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{} am \definitionsverweis {maximalen Ideale}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m} }
{ = }{ K[ M_+] }
{ = }{ \langle T^m ,\, m \in M \rangle }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $R$ allein im Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beweise für einen \definitionsverweis {diskreten Bewertungsring}{}{} die Eigenschaften der \definitionsverweis {Ordnung}{}{,} die in Lemma 21.6 formuliert sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} mit Quotientenkörper $Q$. Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen $R$ und $Q$ gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} mit Quotientenkörper $Q$. Charakterisiere die endlich erzeugten $R$-Untermoduln von $Q$. Auf welche Form kann man ein Erzeugendensystem bringen?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{.} Definiere zu einem Element
\mathbed {q \in Q(R)} {}
{q \neq 0} {}
{} {} {} {,} die Ordnung
\mathdisp {\operatorname{ord}(q) \in \Z} { . }
Dabei soll die Definition mit der \definitionsverweis {Ordnung}{}{} für Elemente aus $R$ übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus \maabb {} {Q(R) \setminus \{0\} } { \Z } {} definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V }
{ = }{ V(x^2+y^2-1) }
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der Einheitskreis über einem Körper $K$ und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{(a,b) }
{ \in }{V }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt. \aufzaehlungvier{Zeige, dass der \definitionsverweis {lokale Ring}{}{} $R$ von $V$ im Punkt $P$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} ist. }{Folgere, dass der \definitionsverweis {Koordinatenring}{}{}
\mathl{K[X,Y]/(X^2+Y^2-1)}{} normal ist \zusatzklammer {man kann $K$ algebraisch abgeschlossen annehmen} {} {.} }{Zeige, dass
\mathl{K[X,Y]/(X^2+Y^2-1)}{} nicht \definitionsverweis {faktoriell}{}{} ist. }{Bestimme die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} von $X$ und von $Y-1$ im lokalen Ring zum Punkt
\mathl{(0,1)}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m} }
{ = }{ ( \pi) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{R/ (\pi) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{} von $R$. Zeige, dass es für jedes
\mathl{n \in \N}{} einen $R$-\definitionsverweis {Modulisomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { (\pi^ n)/( \pi^ {n+1} )} { K } {} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei \maabbdisp {\nu} {(K^\times, \cdot,1)} { (\Z,+,0) } {} ein surjektiver \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} mit $\nu(f+g) \geq \min\{ \nu(f) , \nu(g)\}$ für alle $f,g \in K^\times$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ =} { { \left\{ f \in K^\times \mid \nu(f) \geq 0 \right\} } \cup \{0\} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathbed {f \in {\mathbb C}[X]} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,} und
\mathl{a \in {\mathbb C}}{.} Zeige, dass die folgenden \anfuehrung{Ordnungen}{} von $f$ an der Stelle $a$ übereinstimmen. \aufzaehlungdrei{Die Verschwindungsordnung von $f$ an der Stelle $a$, also die maximale Ordnung einer Ableitung mit
\mathl{f^{(k)}(a) =0}{.} }{Der Exponent des Linearfaktors
\mathl{X-a}{} in der Zerlegung von $f$. }{Die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} von $f$ an der Lokalisierung
\mathl{{\mathbb C}[X]_{(X-a)}}{} von
\mathl{{\mathbb C}[X]}{} am maximalen Ideal
\mathl{(X-a)}{.} }

}
{} {}

Die vorstehende Aufgabe kann man über das Konzept des formalen Ableitens auf andere Grundkörper erweitern.


Sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zu einem Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ = }{\sum_{ i = 0 }^{ n } a_{ i } X^{ i} }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F' }
{ =} { n a_nX^{n-1} + (n-1)a_{n-1}X^{n-2} + \cdots + 3a_3X^2 +2a_2X+a_1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionswort {formale Ableitung}{} von $F$.





\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {formale Ableitung}{}{} von
\mathdisp {2X^7+X^6+2X^5+X^4+X^3+X^2+2 \in \Z/(3) [X]} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Beweise die folgenden Rechenregeln für das \definitionsverweis {formale Ableiten}{}{}
\mathl{F \mapsto F'}{:} \aufzaehlungdrei{Die Ableitung eines konstanten Polynoms ist $0$. }{Die Ableitung ist $K$-\definitionsverweis {linear}{}{.} }{Es gilt die \stichwort {Produktregel} {,} also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (FG)' }
{ =} {FG'+F'G }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mathl{F \in K[X]}{} und
\mathl{a \in K}{.} Zeige, dass $a$ genau dann eine \definitionsverweis {mehrfache Nullstelle}{}{} von $F$ ist, wenn
\mathl{F'(a)=0}{} ist, wobei $F'$ die \definitionsverweis {formale Ableitung}{}{} von $F$ bezeichnet.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $K$ ein Körper der positiven Charakteristik
\mathl{p >0}{.} Bestimme die Menge der Polynome
\mathl{F \in K[T]}{} mit formaler Ableitung
\mathl{F'=0}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass über einem Körper $K$ der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$ für das \definitionsverweis {formale Ableiten}{}{} die Beziehung \zusatzklammer {
\mathl{i \leq n}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ i ! } } { \left( X^n \right) }^{(i)} }
{ =} { \binom { n } { i} X^{n-i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein Körper der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$ und sei
\mathbed {f \in K[X]} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,} und
\mathl{a \in K}{.} Zeige, dass die folgenden \anfuehrung{Ordnungen}{} von $f$ an der Stelle $a$ übereinstimmen. \aufzaehlungdrei{Die Verschwindungsordnung von $f$ an der Stelle $a$, also die maximale Ordnung einer \definitionsverweis {formalen Ableitung}{}{} mit
\mathl{f^{(k)}(a) =0}{.} }{Der Exponent des Linearfaktors
\mathl{X-a}{} in der Zerlegung von $f$. }{Die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} von $f$ an der \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mathl{K[X]_{(X-a)}}{} von
\mathl{K[X]}{} am \definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
\mathl{(X-a)}{.} }

}
{} {}

Die nächste Aufgabe benötigt die folgenden Definitionen, die das Bewertungskonzept verallgemeinern.


Es sei $K$ ein Körper und $(A, \cdot, <)$ eine angeordnete abelsche Gruppe. Eine \definitionswort {Bewertung}{} auf $K$ mit Werten in $A$ ist ein Gruppenhomomorphismus $\nu: K^\times \to A$, so dass für alle $x, y \in K^\times$ mit $x \neq -y$ gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \nu(x + y) }
{ \geq} { \min\{\nu(x), \nu(y) \} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}


Es sei $\nu$ eine \definitionsverweis {Bewertung}{}{} auf einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Dann ist
\mathdisp {{ \left\{ x \in K^\times \mid \nu(x) \geq 0 \right\} } \cup \{ 0 \}} { }
ein \definitionsverweis {Unterring}{}{} von $K$, der sogenannte \definitionswort {Bewertungsring}{} von $\nu$.


Ein \definitionsverweis {nullteilerfreier Ring}{}{} $R$ mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $K$ heißt ein \definitionswort {Bewertungsring}{} \zusatzklammer {oder \definitionswort {abstrakter Bewertungsring}{}} {} {,} falls eine \definitionsverweis {Bewertung }{}{} $\nu$ von $K$ existiert, so dass $R$ der \definitionsverweis {Bewertungsring }{}{} von $\nu$ ist.





\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein noetherscher \definitionsverweis {abstrakter Bewertungsring}{}{} schon diskret ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(R, {\mathfrak m} )}{} ein \definitionsverweis {noetherscher}{}{} \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{.} Zeige, dass aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}^{n+1} }
{ = }{ {\mathfrak m}^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}^n }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(R, {\mathfrak m} )}{} ein \definitionsverweis {lokaler}{}{} \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{,} der kein \definitionsverweis {Körper}{}{} sei. Es sei $Q$ der \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} von $R$. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m} Q }
{ = }{ Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{4}
{

Sei $K$ ein Körper und $K(T)$ der Körper der rationalen Funktionen über $K$. Finde einen \definitionsverweis {diskreten Bewertungsring}{}{}
\mathl{R \subset K(T)}{} mit
\mathl{Q(R)=K(T)}{} und mit
\mathl{R\cap K[T]= K}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Sei $K$ ein Körper. Eine
\definitionswortenp{Potenzreihe in einer Variablen}{} über $K$ ist ein formaler Ausdruck der Form
\mathdisp {a_0+a_1T+a_2T^2+a_3T^3+ \ldots \text{ mit } a_i \in K} { . }
Es kann hier also unendlich viele von $0$ verschiedene Koeffizienten $a_i$ geben. Definiere eine Ringstruktur auf der Menge aller Potenzreihen, die die Ringstruktur auf dem Polynomring in einer Variablen fortsetzt. Zeige, dass dieser Ring ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $R$ ein Integritätsbereich mit folgender Eigenschaft: zu je zwei Elementen
\mathl{f,g \in R}{} gelte, dass $f$ ein Teiler von $g$ ist oder dass $g$ ein Teiler von $f$ ist. Es sei $R$ noethersch, aber kein Körper. Zeige, dass $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass in
\mathl{K[X,Y]_{(X,Y)}/(X^2-Y^3)}{} jedes Ideal durch maximal zwei Erzeuger gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Man gebe ein Beispiel einer ebenen monomialen Kurve und eines Ideals im zugehörigen lokalen Ring der Singularität, das nicht von zwei Elementen erzeugt werden kann.

}
{} {}


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