Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 21/latex
\setcounter{section}{21}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {numerisches Monoid}{}{,}
das von teilerfremden Erzeugern erzeugt werde, es sei
\mathl{K[M]}{} der
\definitionsverweis {Monoidring}{}{}
zu $M$ über einem Körper $K$ und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { K[M]_{\mathfrak m}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
am
\definitionsverweis {maximalen Ideale}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ K[ M_+]
}
{ = }{ \langle T^m ,\, m \in M \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $R$ allein im Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
mit
\definitionsverweis {maximalem Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
\maabbeledisp {} {R \setminus \{0\} } { \N
} {f} {\operatorname{ord} \, (f)
} {,}
folgende Eigenschaften besitzt.
\aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (fg)
}
{ = }{ \operatorname{ord} \, (f) + \operatorname{ord} \, (g)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f+g)
}
{ \geq }{ \operatorname{min} \left( \operatorname{ord} \, (f) ,\, \operatorname{ord} \, (g) \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f)
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ R^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $Q$. Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen $R$ und $Q$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $Q$. Charakterisiere die \definitionsverweis {endlich erzeugten}{}{} $R$-\definitionsverweis {Untermoduln}{}{} von $Q$. Auf welche Form kann man ein Erzeugendensystem bringen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{.}
Definiere zu einem Element
\mathbed {q \in Q(R)} {}
{q \neq 0} {}
{} {} {} {,} die Ordnung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (q)
}
{ \in} { \Z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei soll die Definition mit der
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
für Elemente aus $R$ übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus
\maabb {} {Q(R) \setminus \{0\} } { \Z
} {}
definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{ V(x^2+y^2-1)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der \stichwort {Einheitskreis} {} über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{(a,b)
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt.
\aufzaehlungvier{Zeige, dass der
\definitionsverweis {lokale Ring}{}{}
$R$ von $V$ im Punkt $P$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
ist.
}{Folgere, dass der
\definitionsverweis {Koordinatenring}{}{}
\mathl{K[X,Y]/(X^2+Y^2-1)}{}
\definitionsverweis {normal}{}{}
ist
\zusatzklammer {man kann $K$ algebraisch abgeschlossen annehmen} {} {.}
}{Zeige, dass
\mathl{K[X,Y]/(X^2+Y^2-1)}{} nicht
\definitionsverweis {faktoriell}{}{}
ist.
}{Bestimme die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
von $X$ und von $Y-1$ im lokalen Ring zum Punkt
\mathl{(0,1)}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ ( \pi)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{R/ (\pi)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{}
von $R$. Zeige, dass es für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen
$R$-\definitionsverweis {Modulisomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { (\pi^ n)/( \pi^ {n+1} )} { K
} {}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\maabbdisp {\nu} {(K^\times, \cdot,1)} { (\Z,+,0)
} {}
ein
\definitionsverweis {surjektiver}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu(f+g)
}
{ \geq }{\min\{ \nu(f) , \nu(g)\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \in }{ K^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { { \left\{ f \in K^\times \mid \nu(f) \geq 0 \right\} } \cup \{0\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathbed {f \in {\mathbb C}[X]} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,}
und
\mathl{a \in {\mathbb C}}{.} Zeige, dass die folgenden \anfuehrung{Ordnungen}{} von $f$ an der Stelle $a$ übereinstimmen.
\aufzaehlungdrei{Die Verschwindungsordnung von $f$ an der Stelle $a$, also die maximale Ordnung einer Ableitung mit
\mathl{f^{(k)}(a) =0}{.}
}{Der Exponent des Linearfaktors
\mathl{X-a}{} in der Zerlegung von $f$ in irreduzible Polynome.
}{Die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
von $f$ an der Lokalisierung
\mathl{{\mathbb C}[X]_{(X-a)}}{} von
\mathl{{\mathbb C}[X]}{} am maximalen Ideal
\mathl{(X-a)}{.}
}
}
{} {}
Die vorstehende Aufgabe kann man über das Konzept des formalen Ableitens auf andere Grundkörper erweitern.
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zu einem Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ = }{ \sum_{ i = 0 }^{ n } a_{ i } X^{ i}
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F'
}
{ =} { n a_nX^{n-1} + (n-1)a_{n-1}X^{n-2} + \cdots + 3a_3X^2 +2a_2X+a_1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die \definitionswort {formale Ableitung}{} von $F$.
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {formale Ableitung}{}{} von
\mathdisp {2X^7+X^6+2X^5+X^4+X^3+X^2+2 \in \Z/(3) [X]} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Beweise die folgenden Rechenregeln für das
\definitionsverweis {formale Ableiten}{}{}
\mathl{F \mapsto F'}{:}
\aufzaehlungdrei{Die Ableitung eines konstanten Polynoms ist $0$.
}{Die Ableitung ist
$K$-\definitionsverweis {linear}{}{.}
}{Es gilt die \stichwort {Produktregel} {,} also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (FG)'
}
{ =} {FG'+F'G
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mathl{F \in K[X]}{} und
\mathl{a \in K}{.} Zeige, dass $a$ genau dann eine
\definitionsverweis {mehrfache Nullstelle}{}{}
von $F$ ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F'(a)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, wobei $F'$ die
\definitionsverweis {formale Ableitung}{}{}
von $F$ bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {positiven Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme die Menge der Polynome
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[T]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\definitionsverweis {formaler Ableitung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F'
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass über einem Körper $K$ der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$ für das
\definitionsverweis {formale Ableiten}{}{}
die Beziehung
\zusatzklammer {
\mathl{i \leq n}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ i ! } } { \left( X^n \right) }^{(i)}
}
{ =} { \binom { n } { i } X^{n-i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein Körper der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$ und sei
\mathbed {f \in K[X]} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,}
und
\mathl{a \in K}{.} Zeige, dass die folgenden \anfuehrung{Ordnungen}{} von $f$ an der Stelle $a$ übereinstimmen.
\aufzaehlungdrei{Die Verschwindungsordnung von $f$ an der Stelle $a$, also die maximale Ordnung einer
\definitionsverweis {formalen Ableitung}{}{}
mit
\mathl{f^{(k)}(a) =0}{.}
}{Der Exponent des Linearfaktors
\mathl{X-a}{} in der Zerlegung von $f$.
}{Die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
von $f$ an der
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mathl{K[X]_{(X-a)}}{} von
\mathl{K[X]}{} am
\definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
\mathl{(X-a)}{.}
}
}
{} {}
Die nächste Aufgabe benötigt die folgenden Definitionen, die das Bewertungskonzept verallgemeinern.
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $(A, \cdot, <)$ eine angeordnete abelsche Gruppe. Eine \definitionswort {Bewertung}{} auf $K$ mit Werten in $A$ ist ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabb {\nu} {K^\times } { A
} {}
derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{ K^\times
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \neq }{ -y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \nu(x + y)
}
{ \geq} { \min\{\nu(x), \nu(y) \}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
Es sei $\nu$ eine
\definitionsverweis {Bewertung}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Dann ist
\mathdisp {{ \left\{ x \in K^\times \mid \nu(x) \geq 0 \right\} } \cup \{ 0 \}} { }
ein
\definitionsverweis {Unterring}{}{} von $K$, der sogenannte \definitionswort {Bewertungsring}{} von $\nu$.
Ein \definitionsverweis {nullteilerfreier Ring}{}{} $R$ mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $K$ heißt ein \definitionswort {Bewertungsring}{} \zusatzklammer {oder \definitionswort {abstrakter Bewertungsring}{}} {} {,} falls eine \definitionsverweis {Bewertung}{}{} $\nu$ von $K$ derart existiert, dass $R$ der \definitionsverweis {Bewertungsring}{}{} von $\nu$ ist.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein noetherscher \definitionsverweis {abstrakter Bewertungsring}{}{} schon diskret ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(R, {\mathfrak m} )}{} ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {lokaler Ring}{}{.}
Zeige, dass aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}^{n+1}
}
{ = }{ {\mathfrak m}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}^n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(R, {\mathfrak m} )}{} ein
\definitionsverweis {lokaler}{}{}
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{,}
der kein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
sei. Es sei $Q$ der
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
von $R$. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m} Q
}
{ = }{ Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $K(T)$ der
\definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{}
über $K$. Finde einen
\definitionsverweis {diskreten Bewertungsring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \subseteq }{ K(T)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q(R)
}
{ = }{ K(T)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R \cap K[T]
}
{ = }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Eine
\definitionswortenp{Potenzreihe in einer Variablen}{} über $K$ ist ein formaler Ausdruck der Form
\mathdisp {a_0+a_1T+a_2T^2+a_3T^3+ \ldots \text{ mit } a_i \in K} { . }
Es kann hier also unendlich viele von $0$ verschiedene Koeffizienten $a_i$ geben. Definiere eine Ringstruktur auf der Menge aller Potenzreihen, die die Ringstruktur auf dem Polynomring in einer Variablen fortsetzt. Zeige, dass dieser Ring ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $R$ ein Integritätsbereich mit folgender Eigenschaft: zu je zwei Elementen
\mathl{f,g \in R}{} gelte, dass $f$ ein Teiler von $g$ ist oder dass $g$ ein Teiler von $f$ ist. Es sei $R$ noethersch, aber kein Körper. Zeige, dass $R$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass in
\mathl{K[X,Y]_{(X,Y)}/(X^2-Y^3)}{} jedes Ideal durch maximal zwei Erzeuger gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Man gebe ein Beispiel einer ebenen monomialen Kurve und eines Ideals im zugehörigen lokalen Ring der Singularität, das nicht von zwei Elementen erzeugt werden kann.
}
{} {}
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