Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 22

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass zu der Einsetzungshomomorphismus

mit der Evaluationsabbildung (in den Restekörper ) zum Primideal übereinstimmt.


Aufgabe

Es sei ein maximales Ideal in einem kommutativen Ring . Es sei die Lokalisierung von an und es sei das maximale Ideal von . Zeige .


Aufgabe

Es sei der lokale Ring zum Überkreuzungspunkt des dreidimensionalen Achsenkreuzes. Bestimme dessen Einbettungsdimension.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Kurve derart, dass es auf ihr Punkte gibt, deren Einbettungsdimensionen gleich sind.


Aufgabe

Es sei , sei und der Graph von , aufgefasst als ebene algebraische Kurve. Es sei

ein Punkt des Graphen.

  1. Zeige, dass die Multiplizität von in gleich ist.
  2. Zeige, dass die Tangente in an mit der üblichen Tangente an einen Graphen im Punkt übereinstimmt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien und Polynome, die zu den polynomialen Abbildungen

Anlass geben. Es seien und die durch formales partielles Ableiten definierten Jacobi-Matrizen. Beweise die formale Kettenregel


Aufgabe *

  1. Zeige, dass formales partielles Ableiten auf dem Polynomring bezüglich einer Variablen und Dehomogenisieren bezüglich einer anderen Variablen vertauschbar sind.
  2. Zeige, dass dies nicht für die gleiche Variable stimmt.


Aufgabe

Es sei ein (in der Standardgraduierung) homogenes Polynom vom Grad . Zeige die Beziehung


Aufgabe

Betrachte die durch gegebene Kurve mit dem Punkt . Finde eine Koordinatentransformation derart, dass zum Punkt wird und die Tangente an zur -Achse.


Aufgabe

Sei ein Körper und ein nichtkonstantes Polynom mit einfachen Primfaktoren und mit zugehöriger ebener Kurve . Zeige, dass nur endlich viele singuläre Punkte besitzt.


Aufgabe

Beweise Lemma 22.12.


Cercle tangente rayon.svg


Aufgabe

Zeige, dass der Einheitskreis über einem Körper der Charakteristik glatt ist und bestimme für jeden Punkt die Gleichung der Tangente.


Aufgabe

Sei ein Körper.

a) Zeige, dass der Graph eines Polynoms eine glatte algebraische Kurve ist.

b) Seien Polynome ohne gemeinsame Nullstelle. Zeige, dass der Graph der rationalen Funktion ebenfalls eine glatte algebraische Kurve ist.


Aufgabe *

Bestimme die singulären Punkte der ebenen algebraischen Kurve


Aufgabe *

Es sei ein glatter Punkt einer ebenen irreduziblen Kurve. Zeige, dass der zugehörige lokale Ring ein diskreter Bewertungsring ist.


Aufgabe

Bestimme für die in Beispiel 8.5 berechnete Trajektorie die Koordinaten der Punkte, wo die Kurve singulär ist.


Aufgabe *

Betrachte die beiden reellen Kurven

im Punkt und

im Nullpunkt. Sind diese beiden Kurven lokal in den angegebenen Punkten zueinander diffeomorph?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Körper der Charakteristik . Man charakterisiere die Polynome mit der Eigenschaft, dass

  1. die erste partielle Ableitung,
  2. die zweite partielle Ableitung,
  3. beide partiellen Ableitungen

sind.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die Kurve die singulären Punkte über und über . Man gebe jeweils die Multiplizität und die Tangenten an.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien Polynome mit für einen bestimmten Punkt . Es sei . Zeige, dass jede Tangente von in und jede Tangente von in auch eine Tangente von in ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Betrachte die Kurve

  1. Bestimme die Tangenten im Nullpunkt.
  2. Zeige, dass ein Punkt der Kurve ist, und berechne die Tangente(n) von in über die Ableitung.
  3. Führe eine Variablentransformation durch derart, dass in den neuen Variablen der Nullpunkt ist, und bestimme die Tangente(n) in aus der transformierten Kurvengleichung.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die algebraische Kurve

die Singularitäten sowie deren Multiplizitäten und Tangenten.

(Vergleiche dazu Beispiel 8.5.)


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