Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 22

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass zu  ${}a\in {\mathbb {C} }$  der Einsetzungshomomorphismus

${\mathbb {C} }[X]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,X\longmapsto a,$

mit der Evaluationsabbildung (in den Restekörper ${}{\mathbb {C} }[X]_{(X-a)}/(X-a){\mathbb {C} }[X]_{(X-a)}$) zum Primideal ${}(X-a)$ übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathfrak {n}}$ ein maximales Ideal in einem kommutativen Ring ${}R$. Es sei ${}R_{\mathfrak {n}}$ die Lokalisierung von ${}R$ an ${}{\mathfrak {n}}$ und es sei  ${}{\mathfrak {m}}={\mathfrak {n}}R_{\mathfrak {n}}$  das maximale Ideal von ${}R_{\mathfrak {n}}$. Zeige  ${}R/{\mathfrak {n}}=R_{\mathfrak {n}}/{\mathfrak {m}}$. 

Aufgabe

Es sei ${}R$ der lokale Ring zum Überkreuzungspunkt des dreidimensionalen Achsenkreuzes. Bestimme dessen Einbettungsdimension.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Kurve  ${}C\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$  derart, dass es auf ihr Punkte  ${}P_{1},P_{2},P_{3}\in C$  gibt, deren Einbettungsdimensionen gleich ${}1,2,3$ sind.

Aufgabe

Es sei  ${}H(X)\in K[X]$,  sei  ${}F=Y-H$  und  ${}C=V(F)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$  der Graph von ${}H$, aufgefasst als ebene algebraische Kurve. Es sei

${}P=(a,b)=(a,H(a))\,$

ein Punkt des Graphen.

a) Zeige, dass die Multiplizität von ${}C$ in ${}P$ gleich ${}1$ ist.

b) Zeige, dass die Tangente in ${}P$ an ${}C$ mit der üblichen Tangente an einen Graphen im Punkt ${}a$ übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien  ${}F_{1},\ldots ,F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{\ell }]$  und  ${}G_{1},\ldots ,G_{n}\in K[X_{1},\ldots ,X_{m}]$  Polynome, die zu den polynomialen Abbildungen

${{\mathbb {A} }_{K}^{\ell }}{\stackrel {F}{\longrightarrow }}{{\mathbb {A} }_{K}^{m}}{\stackrel {G}{\longrightarrow }}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$

Anlass geben. Es seien ${}J(F)_{P}$ und ${}J(G)_{Q}$ die durch formales partielles Ableiten definierten Jacobi-Matrizen. Beweise die formale Kettenregel

${}J(G\circ F)_{P}=J(G)_{F(P)}\circ J(F)_{P}\,.$

Aufgabe *

a) Zeige, dass formales partielles Ableiten auf dem Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ bezüglich einer Variablen und Dehomogenisieren bezüglich einer anderen Variablen vertauschbar sind.

b) Zeige, dass dies nicht für die gleiche Variable stimmt.

Aufgabe *

Es sei  ${}H\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  ein (in der Standardgraduierung) homogenes Polynom vom Grad ${}e$. Zeige die Beziehung

${}eH=X_{1}{\frac {\partial H}{\partial X_{1}}}+\cdots +X_{n}{\frac {\partial H}{\partial X_{n}}}\,.$

Aufgabe

Betrachte die durch  ${}y=2x^{4}+3x^{2}-x+1$  gegebene Kurve mit dem Punkt  ${}P=(1,5)$.  Finde eine Koordinatentransformation derart, dass ${}P$ zum Punkt ${}(0,0)$ wird und die Tangente an ${}P$ zur ${}x$-Achse.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}F\in K[X,Y]$  ein nichtkonstantes Polynom mit einfachen Primfaktoren und mit zugehöriger ebener Kurve  ${}C=V(F)$.  Zeige, dass ${}C$ nur endlich viele singuläre Punkte besitzt.

Aufgabe *

Beweise Lemma 22.12.

Aufgabe *

Zeige, dass der Einheitskreis über einem Körper der Charakteristik ${}\neq 2$ glatt ist und bestimme für jeden Punkt die Gleichung der Tangente.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper.

a) Zeige, dass der Graph eines Polynoms  ${}F\in K[X]$  eine glatte algebraische Kurve ist.

b) Es seien  ${}F,G\in K[X]$  Polynome ohne gemeinsame Nullstelle. Zeige, dass der Graph der rationalen Funktion ${}F/G$ ebenfalls eine glatte algebraische Kurve ist.

Aufgabe *

Bestimme die singulären Punkte der ebenen algebraischen Kurve

${}V{\left(-2X^{3}+3X^{2}Y-Y+{\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {1}{3}}}\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\,.$

Aufgabe

Bestimme für die in Beispiel 8.5 berechnete Trajektorie die Koordinaten der Punkte, wo die Kurve singulär ist.

Aufgabe *

Betrachte die beiden reellen Kurven

$V{\left(X^{5}-X^{3}+2XY+7Y^{2}-9\right)}$

im Punkt ${}(1,1)$ und

$V{\left(X^{4}+Y^{4}-3X^{2}Y^{2}+5X+7Y\right)}$

im Nullpunkt. Sind diese beiden Kurven lokal in den angegebenen Punkten zueinander diffeomorph?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik  ${}p\geq 0$.  Man charakterisiere die Polynome  ${}F\in K[X,Y]$  mit der Eigenschaft, dass

1. die erste partielle Ableitung,
2. die zweite partielle Ableitung,
3. beide partiellen Ableitungen

${}0$ sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die Kurve ${}V{\left(X^{3}+Y^{3}-3XY+1\right)}$ die singulären Punkte über ${}\mathbb {R}$ und über ${}{\mathbb {C} }$. Man gebe jeweils die Multiplizität und die Tangenten an.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien  ${}G,H\in K[X,Y]$  Polynome mit  ${}G(P)=H(P)=0$  für einen bestimmten Punkt  ${}P\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}$.  Es sei  ${}F=GH$.  Zeige, dass jede Tangente von ${}G$ in ${}P$ und jede Tangente von ${}H$ in ${}P$ auch eine Tangente von ${}F$ in ${}P$ ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Betrachte die Kurve

${}C=V(x^{3}+5x^{2}y-6xy^{2}-x^{2}-xy+4y^{2})\,.$

a) Bestimme die Tangenten im Nullpunkt.

b) Zeige, dass

${}P=(1,2)\,$

ein Punkt der Kurve ist, und berechne die Tangente(n) von ${}C$ in ${}P$ über die Ableitung.

c) Führe eine Variablentransformation derart durch, dass ${}P$ in den neuen Variablen der Nullpunkt ist, und bestimme die Tangente(n) in ${}P$ aus der transformierten Kurvengleichung.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die algebraische Kurve

${}C=V{\left(9y^{4}+10x^{2}y^{2}+x^{4}-12y^{3}-12x^{2}y+4y^{2}\right)}\,$

die Singularitäten sowie deren Multiplizitäten und Tangenten.

(Vergleiche dazu Beispiel 8.5.)