Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 21

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ein numerisches Monoid, das von teilerfremden Erzeugern erzeugt werde, es sei der Monoidring zu über einem Körper und es sei

die Lokalisierung am maximalen Ideale . Zeige, dass allein im Fall ein diskreter Bewertungsring ist.


Aufgabe

Beweise für einen diskreten Bewertungsring die Eigenschaften der Ordnung, die in Lemma 21.6 formuliert sind.


Aufgabe

Sei ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper . Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen und gibt.


Aufgabe

Sei ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper . Charakterisiere die endlich erzeugten -Untermoduln von . Auf welche Form kann man ein Erzeugendensystem bringen?


Aufgabe

Sei ein diskreter Bewertungsring. Definiere zu einem Element , , die Ordnung

Dabei soll die Definition mit der Ordnung für Elemente aus übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?


Aufgabe

Es sei der Einheitskreis über einem Körper und es sei ein Punkt.

  1. Zeige, dass der lokale Ring von im Punkt ein diskreter Bewertungsring ist.
  2. Folgere, dass der Koordinatenring normal ist (man kann algebraisch abgeschlossen annehmen).
  3. Zeige, dass nicht faktoriell ist.
  4. Bestimme die Ordnung von und von im lokalen Ring zum Punkt .


Aufgabe

Sei ein diskreter Bewertungsring und sei . Es sei der Restklassenkörper von . Zeige, dass es für jedes einen -Modulisomorphismus

gibt.


Aufgabe *

Sei ein Körper und sei

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit für alle . Zeige, dass

ein diskreter Bewertungsring ist.


Aufgabe

Es sei , , und . Zeige, dass die folgenden „Ordnungen“ von an der Stelle übereinstimmen.

  1. Die Verschwindungsordnung von an der Stelle , also die maximale Ordnung einer Ableitung mit .
  2. Der Exponent des Linearfaktors in der Zerlegung von .
  3. Die Ordnung von an der Lokalisierung von am maximalen Ideal .


Die vorstehende Aufgabe kann man über das Konzept des formalen Ableitens auf andere Grundkörper erweitern.


Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zu einem Polynom heißt das Polynom

die formale Ableitung von .


Aufgabe

Bestimme die formale Ableitung von


Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Beweise die folgenden Rechenregeln für das formale Ableiten :

  1. Die Ableitung eines konstanten Polynoms ist .
  2. Die Ableitung ist -linear.
  3. Es gilt die Produktregel, also


Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei und . Zeige, dass genau dann eine mehrfache Nullstelle von ist, wenn ist, wobei die formale Ableitung von bezeichnet.


Aufgabe

Sei ein Körper der positiven Charakteristik . Bestimme die Menge der Polynome mit formaler Ableitung .


Aufgabe

Zeige, dass über einem Körper der Charakteristik für das formale Ableiten die Beziehung ()

gilt.


Aufgabe

Es sei ein Körper der Charakteristik und sei , , und . Zeige, dass die folgenden „Ordnungen“ von an der Stelle übereinstimmen.

  1. Die Verschwindungsordnung von an der Stelle , also die maximale Ordnung einer formalen Ableitung mit .
  2. Der Exponent des Linearfaktors in der Zerlegung von .
  3. Die Ordnung von an der Lokalisierung von am maximalen Ideal .


Die nächste Aufgabe benötigt die folgenden Definitionen, die das Bewertungskonzept verallgemeinern.


Es sei ein Körper und eine angeordnete abelsche Gruppe. Eine Bewertung auf mit Werten in ist ein Gruppenhomomorphismus , so dass für alle mit gilt


Es sei eine Bewertung auf einem Körper . Dann ist

ein Unterring von , der sogenannte Bewertungsring von .


Ein nullteilerfreier Ring mit Quotientenkörper heißt ein Bewertungsring (oder abstrakter Bewertungsring), falls eine Bewertung von existiert, so dass der Bewertungsring von ist.


Aufgabe

Zeige, dass ein noetherscher abstrakter Bewertungsring schon diskret ist.


Aufgabe

Es sei ein noetherscher lokaler Ring. Zeige, dass aus folgt, dass ist.


Aufgabe

Es sei ein lokaler Integritätsbereich, der kein Körper sei. Es sei der Quotientenkörper von . Zeige .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper und der Körper der rationalen Funktionen über . Finde einen diskreten Bewertungsring mit und mit .


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper. Eine Potenzreihe in einer Variablen über ist ein formaler Ausdruck der Form

Es kann hier also unendlich viele von verschiedene Koeffizienten geben. Definiere eine Ringstruktur auf der Menge aller Potenzreihen, die die Ringstruktur auf dem Polynomring in einer Variablen fortsetzt. Zeige, dass dieser Ring ein diskreter Bewertungsring ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Integritätsbereich mit folgender Eigenschaft: zu je zwei Elementen gelte, dass ein Teiler von ist oder dass ein Teiler von ist. Es sei noethersch, aber kein Körper. Zeige, dass ein diskreter Bewertungsring ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass in jedes Ideal durch maximal zwei Erzeuger gegeben ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer ebenen monomialen Kurve und eines Ideals im zugehörigen lokalen Ring der Singularität, das nicht von zwei Elementen erzeugt werden kann.



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