Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 20

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Zeige unter Verwendung der eindeutigen Primfaktorzerlegung von natürlichen Zahlen, dass die reelle Zahl ${}{\sqrt {p}}$ irrational ist.

Aufgabe *

Beweise mit Hilfe der eindeutigen Primfaktorzerlegung in ${}\mathbb {Z}$, dass ${}9^{1/3}$ irrational ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei $R_{i}\subseteq K,\,i\in I$, eine Familie von normalen Unterringen. Zeige, dass auch der Durchschnitt ${}\bigcap _{i\in I}R_{i}$ normal ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Zeige, dass ${}R$ genau dann normal ist, wenn er mit seiner Normalisierung übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Es sei angenommen, dass die Normalisierung von ${}R$ gleich dem Quotientenkörper ${}Q(R)$ ist. Zeige, dass dann ${}R$ selbst schon ein Körper ist.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich und ${}f\in R$, ${}f\neq 0$. Zeige, dass die Nenneraufnahme ${}R_{f}$ ebenfalls normal ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich und sei ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Zeige, dass dann auch die Nenneraufnahme ${}R_{S}$ normal ist.

Aufgabe *

1. Skizziere die Nullstellengebilde

   ${}V=V(XY,XZ,YZ)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}\,$

   und

   ${}W=V(ST(S-T))\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$

   im reellen Fall.

2. Stifte einen bijektiven Morphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow W.$

3. Zeige, dass der Morphismus ${}\varphi$ außerhalb des Nullpunktes ein Isomorphismus ist (die Charakteristik des Körpers sei ${}\neq 2$).

Aufgabe

Es sei ${}M$ ein torsionsfreies Monoid. Zeige, dass dann auch die Differenzengruppe ${}\Gamma (M)$ torsionsfrei ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ ein kommutative Gruppe. Zeige, dass die Torsionsfreiheit von ${}M$ äquivalent zu folgender Eigenschaft ist: Aus ${}m\in M$ und ${}rm=0$ für ein positives ${}r\in \mathbb {N}$ folgt stets ${}m=0$. Zeige ferner, dass diese Äquivalenz für ein Monoid nicht gelten muss.

Aufgabe *

Wir betrachten das Nullstellengebilde

${}C=V(Y^{2}-X^{4})\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\,.$

1. Ist ${}C$ irreduzibel?
2. Kann man den Koordinatenring ${}{\mathbb {C} }[X,Y]/(Y^{2}-X^{4})$ als Monoidring erhalten?
3. Kann man den Koordinatenring ${}{\mathbb {C} }[X,Y]/(Y^{2}-X^{4})$ als Monoidring zu einem Untermonoid ${}M\subseteq \mathbb {N} \times \mathbb {Z} /(2)$ erhalten?

Aufgabe *

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei ${}M\subseteq \mathbb {N} \times \mathbb {Z} /(n)$ ein Untermonoid. Zeige, dass ${}m\in M$ genau dann eine Einheit ist, wenn ${}m$ aufgefasst in ${}\mathbb {N} \times \mathbb {Z} /(n)$ eine Einheit ist.

Aufgabe *

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass das ${}{\mathbb {C} }$- Spektrum des kommutativen Monoids ${}M=\mathbb {N} \times \mathbb {Z} /(n)$ aus ${}n$ irreduziblen Komponenten besteht, die alle isomorph zur affinen Geraden ${}{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{1}$ sind.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich mit Normalisierung ${}R^{\operatorname {norm} }$. Zeige, dass durch

${}{\mathfrak {f}}={\left\{g\in R\mid gR^{\operatorname {norm} }\subseteq R\right\}}\,$

ein Ideal in ${}R$ gegeben ist.

Aufgabe

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N}$ ein numerisches Monoid, das von teilerfremden natürlichen Zahlen erzeugt werde. Zeige, dass für das Führungsideal des zugehörigen Monoidrings ${}K[M]$ die Beziehung

${}{\mathfrak {f}}=(M_{\geq f})\,$

besteht, wobei ${}f$ die Führungszahl des Monoids bezeichnet.

Aufgabe *

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N}$ ein numerisches Monoid. Zeige, dass der Singularitätsgrad von ${}M$ mit den drei folgenden Zahlen übereinstimmt.

1. Die maximale Länge einer Kette von Monoiden

   ${}M=M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \ldots \subset M_{n}=\mathbb {N} \,$

2. Die maximale Länge einer Kette von ${}K$- Algebren

   ${}K[M]=R_{0}\subset R_{1}\subset R_{2}\subset \ldots \subset R_{n}=K[T]\,.$

3. Die maximale Länge einer Kette (einer Fahne) von ${}K$- Untervektorräumen

   ${}K[M]=V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \ldots \subset V_{n}=K[T]\,.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich und ${}R\subseteq S$ eine ganze Ringerweiterung. Sei ${}f\in R$. Zeige, dass für das von ${}f$ erzeugte Hauptideal gilt:

${}R\cap (f)S=(f)R\,.$

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich. Zeige, dass dann auch der Polynomring ${}R[X]$ normal ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich und ${}a\in R$. Es sei vorausgesetzt, dass ${}a$ keine Quadratwurzel in ${}R$ besitzt. Zeige, dass das Polynom ${}X^{2}-a$ prim in ${}R[X]$ ist. Tipp: Verwende den Quotientenkörper ${}Q(R)$. Warnung: Prim muss hier nicht zu irreduzibel äquivalent sein.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}R$ ist normal.
2. Für jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ ist die Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$ normal.
3. Für jedes maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ ist die Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {m}}$ normal.

(Man sagt daher, dass normal eine lokale Eigenschaft ist.)

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}M\subseteq \Gamma (M)\cong \mathbb {Z} ^{n}=M$ ein Monoid und betrachte die Menge

${}M^{*}={\left\{\varphi :\Gamma (M)\longrightarrow \mathbb {Z} \mid \varphi (M)\subseteq \mathbb {N} \right\}}\,.$

Zeige, dass ${}M^{*}$ ein normales Untermonoid von ${}\operatorname {Hom} {\left(\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} \right)}$ ist.

(Dieses Monoid nennt man das duale Monoid zu ${}M$.)

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte Beispiel 20.12. Welchen Wert haben die drei Erzeuger unter den dort angegebenen Monoidhomomorphismen ${}\varphi _{1},\varphi _{2}$ nach ${}\mathbb {Z}$, durch die das Monoid beschrieben werden kann. Bestimme den Kokern des Gruppenhomomorphismus

$\Gamma (M)\longrightarrow \mathbb {Z} ^{2},\,m\longmapsto (\varphi _{1}(m),\varphi _{2}(m)).$

(Diesen Kokern nennt man die Divisorenklassengruppe des Monoidringes.)