Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 20

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl. Zeige unter Verwendung der eindeutigen Primfaktorzerlegung von natürlichen Zahlen, dass die reelle Zahl $\sqrt{p}$ irrational ist.

Aufgabe *

Beweise mithilfe der eindeutigen Primfaktorzerlegung in $\mathbb{Z}$, dass $9^{1/3}$ irrational ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $R_i\subseteq K,i\in I$, eine Familie von normalen Unterringen. Zeige, dass auch der Durchschnitt $\bigcap _{i\in I}{R}_i$ normal ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich. Zeige, dass $R$ genau dann normal ist, wenn er mit seiner Normalisierung übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich. Es sei angenommen, dass die Normalisierung von $R$ gleich dem Quotientenkörper $Q(R)$ ist. Zeige, dass dann $R$ selbst schon ein Körper ist.

Aufgabe *

Es sei $R$ ein normaler Integritätsbereich und $f\in R$, $f\ne 0$. Zeige, dass die Nenneraufnahme $R_f$ ebenfalls normal ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein normaler Integritätsbereich und sei  $S\subseteq R$  ein multiplikatives System. Zeige, dass dann auch die Nenneraufnahme $R_S$ normal ist.

Aufgabe *

1. Skizziere die Nullstellengebilde

   $V=V(XY,XZ,YZ)\subseteq {𝔸}_K^3$

   und

   $W=V(ST(S-T))\subseteq {𝔸}_K^2$

   im reellen Fall.

2. Stifte einen bijektiven Morphismus

   $\phi :V⟶W.$

3. Zeige, dass der Morphismus $\phi$ außerhalb des Nullpunktes ein Isomorphismus ist (die Charakteristik des Körpers sei $\ne 2$).

Aufgabe

Es sei $M$ ein torsionsfreies Monoid. Zeige, dass dann auch die Differenzengruppe $\mathrm{\Gamma }(M)$ torsionsfrei ist.

Aufgabe

Es sei $M$ eine kommutative Gruppe. Zeige, dass die Torsionsfreiheit von $M$ äquivalent zu folgender Eigenschaft ist: Aus  $m\in M$  und  $rm=0$  für ein positives  $r\in \mathbb{N}$  folgt stets  $m=0$.  Zeige ferner, dass diese Äquivalenz für ein Monoid nicht gelten muss.

Aufgabe *

Wir betrachten das Nullstellengebilde

$C=V(Y^2-X^4)\subseteq {𝔸}_{ℂ}^2.$

1. Ist $C$ irreduzibel?
2. Kann man den Koordinatenring $ℂ[X,Y]/(Y^2-X^4)$ als Monoidring erhalten?
3. Kann man den Koordinatenring $ℂ[X,Y]/(Y^2-X^4)$ als Monoidring zu einem Untermonoid  $M\subseteq \mathbb{N}\times \mathbb{Z}/(2)$  erhalten?

Aufgabe *

Es sei  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$  und sei  $M\subseteq \mathbb{N}\times \mathbb{Z}/(n)$  ein Untermonoid. Zeige, dass  $m\in M$  genau dann eine Einheit ist, wenn $m$ aufgefasst in $\mathbb{N}\times \mathbb{Z}/(n)$ eine Einheit ist.

Aufgabe *

Es sei  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Zeige, dass das $ℂ$-Spektrum des kommutativen Monoids  $M=\mathbb{N}\times \mathbb{Z}/(n)$  aus $n$ irreduziblen Komponenten besteht, die alle isomorph zur affinen Geraden ${𝔸}_{ℂ}^1$ sind.

Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich mit Normalisierung $R^{\mathrm{norm}}$. Zeige, dass durch

$𝔣=\{g\in R\mid g{R}^{\mathrm{norm}}\subseteq R\}$

ein Ideal in $R$ gegeben ist.

Aufgabe

Es sei  $M\subseteq \mathbb{N}$  ein numerisches Monoid, das von teilerfremden natürlichen Zahlen erzeugt werde. Zeige, dass für das Führungsideal des zugehörigen Monoidrings $K[M]$ die Beziehung

$𝔣=(M_{\ge f})$

besteht, wobei $f$ die Führungszahl des Monoids bezeichnet.

Aufgabe *

Es sei  $M\subseteq \mathbb{N}$  ein numerisches Monoid. Zeige, dass der Singularitätsgrad von $M$ mit den drei folgenden Zahlen übereinstimmt.

1. Die maximale Länge einer Kette von Monoiden

   $M=M_0\subset M_1\subset M_2\subset \dots \subset M_n=\mathbb{N}$

2. Die maximale Länge einer Kette von $K$-Algebren

   $K[M]=R_0\subset R_1\subset R_2\subset \dots \subset R_n=K[T].$

3. Die maximale Länge einer Kette (einer Fahne) von $K$-Untervektorräumen

   $K[M]=V_0\subset V_1\subset V_2\subset \dots \subset V_n=K[T].$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $R$ ein normaler Integritätsbereich und  $R\subseteq S$  eine ganze Ringerweiterung. Es sei  $f\in R$.  Zeige, dass für das von $f$ erzeugte Hauptideal gilt:

$R\cap (f)S=(f)R.$

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei $R$ ein normaler Integritätsbereich. Zeige, dass dann auch der Polynomring $R[X]$ normal ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei $R$ ein normaler Integritätsbereich und  $a\in R$.  Es sei vorausgesetzt, dass $a$ keine Quadratwurzel in $R$ besitzt. Zeige, dass das Polynom $X^2-a$ prim in $R[X]$ ist. Tipp: Verwende den Quotientenkörper $Q(R)$. Warnung: Prim muss hier nicht zu irreduzibel äquivalent sein.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $R$ ein Integritätsbereich. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. $R$ ist normal.
2. Für jedes Primideal $𝔭$ ist die Lokalisierung $R_{𝔭}$ normal.
3. Für jedes maximale Ideal $𝔪$ ist die Lokalisierung $R_{𝔪}$ normal.

(Man sagt daher, dass normal eine lokale Eigenschaft ist.)

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei  $M\subseteq \mathrm{\Gamma }(M)\cong {\mathbb{Z}}^n$  ein Monoid und betrachte die Menge

$M^{\ast }=\{\phi :\mathrm{\Gamma }(M)⟶\mathbb{Z}\mid \phi (M)\subseteq \mathbb{N}\}.$

Zeige, dass $M^{\ast }$ ein normales Untermonoid von $\mathrm{Hom}({\mathbb{Z}}^n,\mathbb{Z})$ ist.

(Dieses Monoid nennt man das duale Monoid zu $M$.)

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte Beispiel 20.11. Welchen Wert haben die drei Erzeuger unter den dort angegebenen Monoidhomomorphismen ${\phi }_1,{\phi }_2$ nach $\mathbb{Z}$, durch die das Monoid beschrieben werden kann. Bestimme den Kokern des Gruppenhomomorphismus

$\mathrm{\Gamma }(M)⟶{\mathbb{Z}}^2,m⟼({\phi }_1(m),{\phi }_2(m)).$

(Diesen Kokern nennt man die Divisorenklassengruppe des Monoidringes.)