Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 26/latex

\setcounter{section}{26}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe für jedes $n$ ein Beispiel von zwei aus der Schule bekannten ebenen algebraischen Kurven, die sich in genau einem Punkt mit Schnittmultiplizität $n$ schneiden.

}
{} {}

Die folgende Aufgabe fügt den äquivalenten Charakterisierungen zur Nullstellenordnung in Aufgabe 21.15 eine weitere hinzu.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$ und sei
\mathbed {f \in K[X]} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ = }{ V(Y-f) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Graph}{}{} zu $f$, aufgefasst als \definitionsverweis {ebene algebraische Kurve}{}{.} Zeige, dass die folgenden \anfuehrung{Ordnungen}{} von $f$ an der Stelle $a$ übereinstimmen. \aufzaehlungvier{Die Verschwindungsordnung von $f$ an der Stelle $a$, also die minimale Ordnung einer \definitionsverweis {formalen Ableitung}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^{(k)}(a) }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Der Exponent des Linearfaktors
\mathl{X-a}{} in der Zerlegung von $f$. }{Die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} von $f$ an der \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mathl{K[X]_{(X-a)}}{} von
\mathl{K[X]}{} am \definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
\mathl{(X-a)}{.} }{Die \definitionsverweis {Schnittmultiplizität}{}{} von $C$ mit der $x$-Achse im Punkt
\mathl{(a,0)}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H_1,H_2 }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} verschiedene \definitionsverweis {Polynome}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C }
{ = }{ V(Y-H_1) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D }
{ = }{ V(Y-H_2) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die zugehörigen \definitionsverweis {Graphen}{}{,} aufgefasst als \definitionsverweis {ebene algebraische Kurven}{}{} in
\mathl{{\mathbb A}^{2}_{K}}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H_1(a) }
{ =} { H_2(a) }
{ \defeqr} { b }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Schnittmultiplizität}{}{} von \mathkor {} {C} {und} {D} {} im Punkt
\mathl{(a,b)}{} mit der Schnittmultiplizität des Graphen von
\mathl{H_1-H_2}{} und der $X$-Achse im Punkt
\mathl{(a,0)}{} übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die beiden Kurven
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ = }{ V(Y) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ = }{ V(Y-X^2) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. \aufzaehlungdreiabc{Zeige, dass der \definitionsverweis {affine Koordinatenring}{}{} von $C$ und auch der von $D$ in natürlicher Weise gleich
\mathl{K[X]}{} ist. }{Bestimme die $K$-\definitionsverweis {Dimension}{}{} des Restklassenringes
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R }
{ =} { K[X,Y]/(Y,Y-X^2) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}

der den Durchschnitt der beiden Kurven beschreibt. }{Zeige, dass es \definitionsverweis {Einheiten}{}{} in $R$ gibt, die man nicht als ein Produkt von Einheiten schreiben kann, die von den beiden Koordinantenringen herrühren. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei eine monomiale ebene Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C }
{ = }{ V(X^d -Y^e) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {mit $d,e$ teilerfremd} {} {} gegeben. Berechne die Schnittmultiplizität der Kurve mit einer jeden Geraden $G$ durch den Nullpunkt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass sich die \definitionsverweis {Schnittmultiplizität}{}{} von ebenen Kurven bei einer \definitionsverweis {affinen Variablentransformation}{}{} nicht ändert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ C }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {glatter Punkt}{}{} einer ebenen Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{ K } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der \definitionsverweis {Tangente}{}{} $G$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Schnittmultiplizität}{}{} von \mathkor {} {C} {und} {G} {} im Punkt $P$
\mathl{\geq 2}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne die \definitionsverweis {Schnittmultiplizität}{}{} der beiden \definitionsverweis {monomialen Kurven}{}{}
\mathdisp {C=V(X^2 -Y^3) \text{ und } D=V(X^3 -Y^2)} { }
im Nullpunkt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die Schnittmultiplizität im Nullpunkt des Kartesischen Blattes
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} { V(X^3+Y^3-3XY) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit jeder affinen Geraden der affinen Ebene. Man setze voraus, dass die Charakteristik des Körpers nicht $3$ ist.

}
{Man setze voraus, dass die Charakteristik des Körpers nicht $3$ ist.} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Berechne die \definitionsverweis {Schnittmultiplizität}{}{} der beiden \definitionsverweis {monomialen Kurven}{}{}
\mathdisp {C=V(X^5 -Y^2) \text{ und } D=V(X^7 -Y^3)} { }
im Nullpunkt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C }
{ = }{ V(F) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D }
{ = }{ V(G) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {ebene algebraische Kurven}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ C }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein glatter Punkt, sodass der \definitionsverweis {lokale Ring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ = }{ (K[X,Y]_{ {\mathfrak m} } )/(F) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} ist. Zeige, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{mult} _{ { P} } ( F , G ) }
{ =} { \operatorname{ord} \, (G) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt, wobei $\operatorname{ord} \,$ die Ordnung im Bewertungsring $R$ bezeichnet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Betrachte die Parabel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C }
{ = }{ V(Y-X^2) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und den Kreis $D$ mit Mittelpunkt $(0,r)$ und Radius $r$. Bestimme die Schnittpunkte von $C$ und $D$ und die jeweiligen Schnittmultiplizitäten.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme für den \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{{\mathbb C}[X,Y]/(XY-1,X^2+Y^2-a)}{} \zusatzklammer {für jedes
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ a }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} eine Beschreibung als Produktring von lokalen Ringen. Man gebe dabei die ${\mathbb C}$-Dimensionen der beteiligten Ringe an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{8}
{

Es seien zwei verschiedene monomiale ebene Kurven
\mathl{C=V(X^d -Y^e)}{} und
\mathl{D=V(X^r -Y^s)}{} gegeben (mit $d,e$ und $r,s$ teilerfremd). Berechne die Schnittmultiplizität der beiden Kurven im Nullpunkt.

}
{} {}