Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 26/latex

\setcounter{section}{26}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe für jedes $n$ ein Beispiel von zwei aus der Schule bekannten ebenen algebraischen Kurven, die sich in genau einem Punkt mit Schnittmultiplizität $n$ schneiden.

}
{} {}

Die folgende Aufgabe fügt den äquivalenten Charakterisierungen zur Nullstellenordnung in Aufgabe 21.15 eine weitere hinzu.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$ und sei
\mathbed {f \in K[X]} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ = }{ V(Y-f) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Graph}{}{} zu $f$, aufgefasst als \definitionsverweis {ebene algebraische Kurve}{}{.} Zeige, dass die folgenden \anfuehrung{Ordnungen}{} von $f$ an der Stelle $a$ übereinstimmen. \aufzaehlungvier{Die Verschwindungsordnung von $f$ an der Stelle $a$, also die maximale Ordnung einer \definitionsverweis {formalen Ableitung}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^{(k)}(a) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Der Exponent des Linearfaktors
\mathl{X-a}{} in der Zerlegung von $f$. }{Die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} von $f$ an der \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mathl{K[X]_{(X-a)}}{} von
\mathl{K[X]}{} am \definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
\mathl{(X-a)}{.} }{Die \definitionsverweis {Schnittmultiplizität}{}{} von $C$ mit der $x$-Achse im Punkt
\mathl{(a,0)}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{H_1,H_2 \in K[X]}{} verschiedene Polynome und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ = }{V(Y-H_1) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ = }{V(Y-H_2) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die zugehörigen \definitionsverweis {Graphen}{}{,} aufgefasst als \definitionsverweis {ebene algebraische Kurven}{}{} in
\mathl{{\mathbb A}^{2}_{K}}{.} Es sei
\mathl{a \in K}{} ein Punkt mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H_1(a) }
{ =} {H_2(a) }
{ \defeqr} { b }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Schnittmultiplizität}{}{} von \mathkor {} {C} {und} {D} {} im Punkt
\mathl{(a,b)}{} mit der Schnittmultiplizität des Graphen von
\mathl{H_1-H_2}{} und der $X$-Achse im Punkt
\mathl{(a,0)}{} übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die beiden Kurven
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ = }{ V(Y) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ = }{ V(Y-X^2) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. \aufzaehlungdrei{Zeige, dass der \definitionsverweis {affine Koordinatenring}{}{} von $C$ und auch der von $D$ in natürlicher Weise gleich
\mathl{K[X]}{} ist. }{Bestimme die $K$-\definitionsverweis {Dimension}{}{} des Restklassenringes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ = }{ K[X,Y]/(Y,Y-X^2) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} der den Durchschnitt der beiden Kurven beschreibt. }{Zeige, dass es \definitionsverweis {Einheiten}{}{} in $R$ gibt, die man nicht als ein Produkt von Einheiten schreiben kann, die von den beiden Koordinantenringen herrühren. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei eine monomiale ebene Kurven
\mathl{C=V(X^d -Y^e)}{} (mit $d,e$ teilerfremd) gegeben. Berechne die Schnittmultiplizität der Kurve mit einer jeden Geraden $G$ durch den Nullpunkt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass sich die \definitionsverweis {Schnittmultiplizität}{}{} von ebenen Kurven nicht bei einer \definitionsverweis {affinen Variablentransformation}{}{} ändert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $P\in C$ ein \definitionsverweis {glatter Punkt}{}{} einer ebenen Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der \definitionsverweis {Tangente}{}{} $G$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Schnittmultiplizität}{}{} von \mathkor {} {C} {und} {G} {} im Punkt $P$
\mathl{\geq 2}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne die \definitionsverweis {Schnittmultiplizität}{}{} der beiden \definitionsverweis {monomialen Kurven}{}{}
\mathdisp {C=V(X^2 -Y^3) \text{ und } D=V(X^3 -Y^2)} { }
im Nullpunkt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die Schnittmultiplizität im Nullpunkt des Kartesischen Blattes
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} { V(X^3+Y^3-3XY) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit jeder affinen Geraden der affinen Ebene. Man setze voraus, dass die Charakteristik des Körpers nicht $3$ ist.

}
{Man setze voraus, dass die Charakteristik des Körpers nicht $3$ ist.} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Berechne die \definitionsverweis {Schnittmultiplizität}{}{} der beiden \definitionsverweis {monomialen Kurven}{}{}
\mathdisp {C=V(X^5 -Y^2) \text{ und } D=V(X^7 -Y^3)} { }
im Nullpunkt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein Körper und seien
\mathl{C=V(F)}{} und
\mathl{D=V(G)}{} ebene algebraische Kurven. Es sei
\mathl{P \in C}{} ein glatter Punkt, so dass der lokale Ring
\mathl{R=(K[X,Y]_{ {\mathfrak m} } )/(F)}{} ein diskreter Bewertungsring ist. Zeige, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{mult} _{ {P} } ( F, G ) }
{ =} { \operatorname{ord} \, (G) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt, wobei $\operatorname{ord} \,$ die Ordnung im Bewertungsring $R$ bezeichnet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Betrachte die Parabel
\mathl{C=V(Y-X^2)}{} und den Kreis $D$ mit Mittelpunkt $(0,r)$ und Radius $r$. Bestimme die Schnittpunkte von $C$ und $D$ und die jeweiligen Schnittmultiplizitäten.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme für den Restklassenring
\mathl{{\mathbb C}[X,Y]/(XY-1,X^2+Y^2-a)}{} \zusatzklammer {für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} eine Beschreibung als Produktring von lokalen Ringen. Man gebe dabei die ${\mathbb C}$-Dimensionen der beteiligten Ringe an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{8}
{

Es seien zwei verschiedene monomiale ebene Kurven
\mathl{C=V(X^d -Y^e)}{} und
\mathl{D=V(X^r -Y^s)}{} gegeben (mit $d,e$ und $r,s$ teilerfremd). Berechne die Schnittmultiplizität der beiden Kurven im Nullpunkt.

}
{} {}