Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 26

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Man gebe für jedes ein Beispiel von zwei aus der Schule bekannten ebenen algebraischen Kurven, die sich in genau einem Punkt mit Schnittmultiplizität schneiden.


Die folgende Aufgabe fügt den äquivalenten Charakterisierungen zur Nullstellenordnung in Aufgabe 21.15 eine weitere hinzu.

Aufgabe

Es sei ein Körper der Charakteristik und sei , , und . Es sei der Graph zu , aufgefasst als ebene algebraische Kurve. Zeige, dass die folgenden „Ordnungen“ von an der Stelle übereinstimmen.

  1. Die Verschwindungsordnung von an der Stelle , also die maximale Ordnung einer formalen Ableitung mit .
  2. Der Exponent des Linearfaktors in der Zerlegung von .
  3. Die Ordnung von an der Lokalisierung von am maximalen Ideal .
  4. Die Schnittmultiplizität von mit der -Achse im Punkt .


Aufgabe

Es seien verschiedene Polynome und und die zugehörigen Graphen, aufgefasst als ebene algebraische Kurven in . Es sei ein Punkt mit

Zeige, dass die Schnittmultiplizität von und im Punkt mit der Schnittmultiplizität des Graphen von und der -Achse im Punkt übereinstimmt.


Aufgabe

Es sei eine monomiale ebene Kurven (mit teilerfremd) gegeben. Berechne die Schnittmultiplizität der Kurve mit einer jeden Geraden durch den Nullpunkt.


Aufgabe

Zeige, dass sich die Schnittmultiplizität von ebenen Kurven nicht bei einer affinen Variablentransformation ändert.


Aufgabe

Es sei ein glatter Punkt einer ebenen Kurve mit der Tangente . Zeige, dass die Schnittmultiplizität von und im Punkt ist.


Aufgabe

Berechne die Schnittmultiplizität der beiden monomialen Kurven

im Nullpunkt.


Aufgabe *

Bestimme die Schnittmultiplizität im Nullpunkt des Kartesischen Blattes

mit jeder affinen Geraden der affinen Ebene. Man setze voraus, dass die Charakteristik des Körpers nicht ist.

Man setze voraus, dass die Charakteristik des Körpers nicht ist.



Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne die Schnittmultiplizität der beiden monomialen Kurven

im Nullpunkt.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper und seien und ebene algebraische Kurven. Es sei ein glatter Punkt, so dass der lokale Ring ein diskreter Bewertungsring ist. Zeige, dass die Beziehung

gilt, wobei die Ordnung im Bewertungsring bezeichnet.


Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Parabel und den Kreis mit Mittelpunkt und Radius . Bestimme die Schnittpunkte von und und die jeweiligen Schnittmultiplizitäten.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für den Restklassenring (für jedes ) eine Beschreibung als Produktring von lokalen Ringen. Man gebe dabei die -Dimensionen der beteiligten Ringe an.


Aufgabe (8 Punkte)

Es seien zwei verschiedene monomiale ebene Kurven und gegeben (mit und teilerfremd). Berechne die Schnittmultiplizität der beiden Kurven im Nullpunkt.



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