Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 25

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Übungsaufgaben

Aufgabe *

Bestimme für die ebene algebraische Kurve

eine nichtkonstante Potenzreihenlösung im Nullpunkt bis zum sechsten Glied.


Aufgabe *

Bestimme für die ebene algebraische Kurve

eine nicht-konstante Potenzreihenlösung im Nullpunkt bis zur fünften Ordnung.


Aufgabe

Betrachte die Kardioide

im Punkt . Bestimme eine formale Parametrisierung (bis zum fünften Term) der Kurve in diesem Punkt in Abhängigkeit von einem Tangentenparameter.


Aufgabe

Betrachte die durch gegebene Kurve im Punkt in den in Aufgabe 22.9 gefundenen Koordinaten. Bestimme die Potenzreihe für die Kurve in entlang der Tangente.


Aufgabe

Sei ein Körper. Eine formale Laurentreihe ist eine unendliche Summe der Form

Zeige, dass der Ring der formalen Laurentreihen (mit geeigneten Ringoperationen) isomorph zum Quotientenkörper des Potenzreihenringes ist.


Die folgenden Aufgaben beschäftigen sich mit der Komplettierung eines lokalen Ringes.

Aufgabe

Betrachte zu einem lokalen Ring mit maximalem Ideal das Diagramm

Dabei sind die Abbildungen die kanonischen Projektionen , die durch die Idealinklusionen induziert werden. Eine Folge von Elementen

heißt verträglich, wenn für alle gilt. Definiere eine Ringstruktur auf der Menge aller verträglichen Elemente (diesen Ring nennt man die Komplettierung von .) Zeige ferner, dass es einen kanonischen Ringhomomorphismus von in die Komplettierung gibt.


Aufgabe

Sei ein eindimensionaler lokaler noetherscher kommutativer Ring. Zeige, dass die kanonische Abbildung von in die Komplettierung von injektiv ist.

Bemerkung: Die Injektivität gilt für jeden noetherschen lokalen Ring, ist aber schwieriger zu beweisen.

Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und ein Ideal. Zeigen Sie, dass durch

Umgebungsbasen definiert werden. Zeigen Sie außerdem, dass die auf induzierte Topologie genau dann hausdorffsch ist, wenn .

Bemerkung: Die Komplettierung eines lokalen Ringes bezüglich seines maximalen Ideals entspricht dann genau der (topologischen) Komplettierung bezüglich dieser Topologie.



Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte den Einheitskreis im Punkt . Bestimme Potenzreihen und mit den Anfangsbedingungen und mit .


Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Neilsche Parabel im Punkt . Finde eine Parametrisierung der Kurve in diesem Punkt mit Potenzeihen (bis zum fünften Glied) derart, dass eine Potenzreihe davon ein lineares Polynom ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper und sei der Polynomring in einer Variablen. Es sei die Lokalisierung von am maximalen Ideal . Zeige, dass die Komplettierung von isomorph zum Potenzreihenring ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper und der Potenzreihenring. Zeige, dass es in keine Quadratwurzel für gibt. Zeige ferner, dass für das Element eine Quadratwurzel in besitzt, und gebe die ersten fünf Koeffizienten von einer Quadratwurzel davon an.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein irreduzibles Polynom und der integre Koordinatenring der ebenen Kurve . Es sei die Normalisierung von und es sei der Ringhomomorphismus zu einer nichtkonstanten formalen Potenzreihenlösung der Kurve. Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus gibt derart, dass das Diagramm

kommutiert.




Aufgabe zum Hochladen

Aufgabe (3 Punkte)

Zeichne mittels eines geeigneten Programms eine der Beispielkurven der Vorlesung sowie die verschiedenen dort berechneten polynomialen Approximationen.



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