Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 27

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Definiere eine Äquivalenzrelation auf der Menge derart, dass der Quotient unter der Äquivalenzrelation der projektive -dimensionale Raum ist.


Aufgabe

Sei ein Punkt im projektiven Raum. Zeige, dass es eine offene affine Umgebung derart gibt, dass in diesem affinen Raum dem Nullpunkt entspricht.


Aufgabe

Sei der projektive Raum der Dimension über dem Körper und seien

zwei affine offene Teilmengen. Beschreibe die (nicht überall definierte) Übergangsabbildung von nach .


Aufgabe

Man definiere den Begriff projektiv-linearer Unterraum eines projektiven Raumes .


Aufgabe

Sei ein endlicher Körper. Berechne auf zwei verschiedene Arten, wie viele Elemente der projektive Raum besitzt.


Aufgabe

Sei ein Ideal. Zeige, dass genau dann ein homogenes Ideal ist, wenn es von homogenen Elementen erzeugt wird.


Aufgabe

Skizziere die projektive Nullstellenmenge


Aufgabe

Sei ein Körper und sei die projektive Ebene über . Zeige, dass zwei projektive Geraden stets einen nichtleeren Durchschnitt besitzen.


Aufgabe *

Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden

und

in der projektiven Ebene.


Aufgabe

Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden

und

in der projektiven Ebene.


Die folgenden Aufgaben besprechen die Zariski-Topologie auf den projektiven Räumen.

Aufgabe

Zeige, dass die Zariski-Topologie auf dem projektiven Raum wirklich eine Topologie ist.


Aufgabe

Sei ein unendlicher Körper und der projektive Raum. Charakterisiere die homogenen Ideale , für die ist.


Aufgabe

Sei ein unendlicher Körper. Zeige, dass der projektive Raum irreduzibel ist.


Aufgabe

Sei , wobei eine homogene Linearform im zugehörigen Polynomring sei. Zeige, dass die Zariski-Topologie auf dem projektiven Raum die Zariski-Topologie auf dem affinen Raum induziert.


Aufgabe *

Zeige, dass unter der Kegelabbildung

die Beziehung

für jedes homogene Ideal gilt. Folgere daraus, dass stetig in der Zariski-Topologie ist.


Aufgabe

Es sei

und betrachte die Gesamtabbildung

wobei hinten die Kegelabbildung steht. Ist surjektiv? Wie verhält sich zur Einschränkung der Kegelabbildung auf die reell -dimensionale Sphäre ?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden

und

in der projektiven Ebene.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass zwei verschiedene Punkte und in der projektiven Ebene eindeutig eine projektive Gerade definieren, auf der beide Punkte liegen. Wie berechnet man die Geradengleichung aus den Koordinaten der Punkte?

Bestimme die homogene Geradengleichung für die beiden Punkte und .

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein projektiver Raum der Dimension und es seien projektiv-lineare Unterräume der Dimension und . Es sei . Zeige, dass dann ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein unendlicher Körper und sei eine endliche Ansammlung von Punkten in einem projektiven Raum . Zeige: Dann gibt es eine homogene Linearform derart, dass all diese Punkte auf der durch definierten offenen Teilmenge liegen.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei oder . Es sei ein -dimensionaler affiner Unterraum, der den Nullpunkt nicht enthält, und es sei der dazu parallele Unterraum durch den Nullpunkt. Es sei eine in offene Menge (in der metrischen Topologie) und es sei die Vereinigung aller Geraden durch den Nullpunkt und durch einen Punkt von . Zeige, dass der Durchschnitt von mit offen ist.


Die nächste Aufgabe benötigt noch die folgende Definition:


Für ein homogenes Ideal in mit der Standardgraduierung definiert man die Sättigung (oder Saturierung) von als

Dabei ist das irrelevante Ideal .


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und der Polynomring mit der Standardgraduierung. Zeige, dass die Sättigung eines homogenen Ideals wieder ein homogenes Ideal ist.



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