Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 8/latex
\setcounter{section}{8}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die möglichen Durchschnitte von zwei zueinander senkrechten Zylindern.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Erstelle eine möglichst einfache Gleichung für das mechanische System, das durch die $X$-Achse, die
\zusatzklammer {verschobene} {} {}
Parabel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ = }{X^2+1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und den Abstand $2$ gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H_1,H_2
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Polynome in einer Variabeln und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C_1
}
{ = }{ V(Y-H_1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C_2
}
{ = }{ V(Y-H_2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die zugehörigen
\definitionsverweis {Graphen}{}{}
im
\mathl{{\mathbb A}^{2}_{K}}{.} Zeige, dass man das zugehörige
\definitionsverweis {mechanische System}{}{}
mit zwei Variablen beschreiben kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme Gleichungen für das \definitionsverweis {mechanische System}{}{,} das durch den Einheitskreis, die $x$-Achse und den Abstand $1$ gegeben ist. Was sind die \definitionsverweis {irreduziblen Komponenten}{}{} des Systems?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subset }{ { {\mathbb A}_{ \R }^{ 4 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein durch die beiden Bahnen
\mathkor {} {B_1} {und} {B_2} {}
und den Abstand $d$ gegebenes
\definitionsverweis {mechanisches System}{}{.}
Zeige, dass es eine natürliche
\definitionsverweis {injektive}{}{}
Abbildung
\maabbdisp {} {M} { B_1 \times B_2
} {}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{B
}
{ =} {V(G)
}
{ \subset} { {\mathbb A}^{2}_{\R}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Bahn, die wir als
\definitionsverweis {mechanisches System}{}{}
$M$ in dem Sinne auffassen, dass die beiden Punkte mit dem Abstand $d$ auf dieser einen Bahn liegen müssen. Zeige, dass es eine natürliche
\definitionsverweis {fixpunktfreie}{}{}
\definitionsverweis {bijektive}{}{}
Abbildung
\maabbdisp {} {M} {M
} {}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme Gleichungen für das \definitionsverweis {mechanische System}{}{,} das durch die $x$-Achse \zusatzklammer {als gemeinsame Bahn} {} {} und den Abstand $1$ gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme Gleichungen für das \definitionsverweis {mechanische System}{}{,} das durch den \definitionsverweis {Einheitskreis}{}{} \zusatzklammer {als gemeinsame Bahn} {} {} und den Abstand $2$ gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {mechanische System}{}{,}
das durch den Einheitskreis und die dazu tangentiale Gerade durch
\mathl{(0,1)}{} mit dem Koppelungsabstand
\mathl{d=2}{} definiert ist. Zeige, dass man dieses System mit zwei Variablen beschreiben kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme Gleichungen für das \definitionsverweis {mechanische System}{}{,} das durch die $x$-Achse, die $y$-Achse und den Abstand $1$ gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme Gleichungen für das \definitionsverweis {mechanische System}{}{,} das durch das Achsenkreuz \zusatzklammer {als gemeinsame Bahn} {} {} und den Abstand $1$ gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{B_1 = V(F_1), B_2 = V(F_2)
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{\R}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zwei Bahnen, und es sei ein Abstand $d$ fixiert. Vergleiche das
\definitionsverweis {mechanische System}{}{}
$M$ zu diesen Bahnen mit dem System $N$, das zu der einen Bahn
\mathl{B_1 \cup B_2}{} gehört. Zeige, dass es zwei natürliche injektive Abbildungen
\maabbdisp {} {M} {N
} {}
gibt. Es sei $L_i$ das mechanische System das zu $B_i$ als alleiniger Bahn gehört. Zeige, dass es eine natürliche surjektive Abbildung der Form
\maabbdisp {} {L_1 \uplus L_2 \uplus M \uplus M} {N
} {}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \subset }{ { {\mathbb A}_{ \R }^{ 4 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {mechanisches System}{}{.}
Zeige, dass durch
\maabbeledisp {} {M} { S^1(d)
} {(P_1,P_2)} { P_1-P_2
} {,}
eine Abbildung des Systems auf den Kreis mit Radius $d$ gegeben ist. Was bedeutet die Surjektivität dieser Abbildung? Kann diese Abbildung nur endlich viele Bildpunkte besitzen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {mechanische System}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subset }{ { {\mathbb A}_{ \R }^{ 4 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu zwei sich kreuzenden Geraden. Zeige, dass die Abbildung aus
Aufgabe 8.13
bijektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {mechanische System}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subset }{ { {\mathbb A}_{ \R }^{ 4 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zum Einheitskreis, zum Kreis mit Mittelpunkt
\mathl{(0,2)}{} und Radius $4$ und zum Koppelungsabstand $5$. Zeige, dass die Abbildung aus
Aufgabe 8.13
nicht surjektiv ist. Was ist das Bild?
}
{} {}
In den folgenden Aufgaben betrachten wir die Nullstellenmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { V(f_1 , \ldots , f_k)
}
{ \subset} { { {\mathbb A}_{ \R }^{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
differentialgeometrisch. Wir erinnern an die folgende Definition von einem regulären Punkt zu einer differenzierbaren Abbildung aus der Analysis 2 Vorlesung. Dieser Begriff ist im jetzigen Kontext auf die Abbildung
\maabbdisp {\varphi = (f_1 , \ldots , f_k)} {{ {\mathbb A}_{ \R }^{ n } } } {{ {\mathbb A}_{ \R }^{ k } }
} {}
in einem Punkt $P \in V$ anzuwenden.
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
\definitionsverweis {reelle Vektorräume}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {W
} {}
eine in $P$
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.}
Dann heißt $P$ ein \definitionswort {regulärer Punkt}{} von $\varphi$, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, \left(D\varphi\right)_{P}
}
{ =} { {\min { \left( \dim_{ } { \left( V \right) } , \dim_{ } { \left( W \right) } \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Andernfalls heißt $P$ ein \definitionswort {kritischer Punkt}{} oder ein \definitionswort {singulärer Punkt}{.}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {mechanische System}{}{,}
das durch die $x$-Achse und den Kreis mit Radius $1$ und Mittelpunkt
\mathl{(0,2)}{} gegeben ist. Der Koppelungsabstand sei $d>0$.
\aufzaehlungdrei{Erstelle die Gleichungen, die dieses System beschreiben.
}{Bestimme, für welche $d$ das System in jedem Punkt
\definitionsverweis {regulär}{}{}
ist.
}{Bestimme die kritischen Punkte in Abhängigkeit von $d$. Wie kann man diese Punkte als Eigenschaft des mechanischen Systems erklären?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {mechanische System}{}{,}
das durch die $x$-Achse und den Kreis mit Radius $1$ und Mittelpunkt
\mathl{(0,2)}{} gegeben ist. Der Koppelungsabstand sei $d>0$.
\aufzaehlungzwei {Begründe anschaulich und zeige, dass dieses mechanische System zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ > }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht
\zusatzklammer {in der reellen Topologie} {} {}
\definitionsverweis {wegzusammenhängend}{}{}
ist.
} {Begründe anschaulich und zeige, dass dieses mechanische System zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ \leq }{d
}
{ \leq }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {wegzusammenhängend}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{6 (2+2+2)}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {mechanische System}{}{,}
das durch die $x$-Achse, die Parabel
\mathl{V(Y-X^2)}{} und den Koppelungsabstand $1$ gegeben ist.
\aufzaehlungdrei{Bestimme Gleichungen
\zusatzklammer {in möglichst wenigen Variablen} {} {}
für das mechanische System.
}{Besitzt das System kritische Punkte?
}{Bestimme die Gleichung für den Bewegungsvorgang zum Mittelpunkt der Verbindungsstange.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme Gleichungen für das \definitionsverweis {mechanische System}{}{,} das durch den \definitionsverweis {Einheitskreis}{}{} \zusatzklammer {als gemeinsame Bahn} {} {} und den Abstand $1$ gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6 (2+2+2)}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {mechanische System}{}{,}
das durch die Parabel
\mathl{V(Y-X^2)}{,} den Kreis mit Mittelpunkt
\mathl{(0,2)}{} und Radius $1$ und den Koppelungsabstand $1$ gegeben ist.
\aufzaehlungdrei{Bestimme Gleichungen
\zusatzklammer {in möglichst wenigen Variablen} {} {}
für dieses mechanische System.
}{Bestimme die
\definitionsverweis {Zusammenhangskomponenten}{}{}
des Systems in der metrischen Topologie.
}{Bestimme die Zusammenhangskomponenten des Systems in der
\definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{6 (2+4)}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {mechanische System}{}{,}
das durch die $x$-Achse und den Kreis mit Radius $1$ und Mittelpunkt
\mathl{(0,2)}{} gegeben ist. Der Koppelungsabstand sei $d>0$. Wir knüpfen an
Aufgabe 8.16
an.
\aufzaehlungzwei {Eliminiere die Variable $y_1$ aus den Gleichungen des Systems.
} {Bestimme mit der einen beschreibenden Gleichung des Systems in den Variablen
\mathkor {} {x_1} {und} {x_2} {,}
für welche $d$ das System in jedem Punkt
\definitionsverweis {regulär}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei
\mathl{C \subset{ {\mathbb A}_{ \R }^{ 3 } }}{} der Schnitt von zwei Zylindern mit Radius $1$
\zusatzklammer {$C$ ist also die Vereinigung von zwei Ellipsen} {} {.}
Wir betrachten die durch einen Vektor
\mathl{v=(a,b,c) \neq 0}{} definierte senkrechte Projektion
\maabbdisp {p_v} { { {\mathbb A}_{ \R }^{ 3 } } } { {\mathbb A}^{2}_{\R}
} {.}
Man charakterisiere, in Abhängigkeit von
\mathl{a,b,c}{,} die möglichen Bilder unter diesen Projektionen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Betrachte die Abbildung
\maabbeledisp {} {{\mathbb A^2_K } } {{\mathbb A^2_K }
} {(x,y) } { (x^2,y^2) = (u,v)
} {.}
Wie sieht das Bild der Ebene und wie das Bild des Einheitskreises unter dieser Abbildung für
\mathl{K=\R}{} und wie für
\mathl{K={\mathbb C}}{} aus? Im reellen Fall, wenn der Kreis einmal durchlaufen wird, wie oft wird das Bild durchlaufen?
}
{} {}
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