Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 1/latex
\setcounter{section}{1}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass $\sqrt{2}$ eine \definitionsverweis {irrationale Zahl}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Zeige unter Verwendung der
eindeutigen Primfaktorzerlegung
von natürlichen Zahlen, dass die
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
\mathl{\sqrt{p}}{}
\definitionsverweis {irrational}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sqrt{10 + \sqrt{24} + \sqrt{40}+ \sqrt{60} }
}
{ =} { \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Einheiten}{}{}
von $\Z$ und von
\mathl{K[X]}{,} wobei $K$ ein Körper sei.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne
\mathdisp {{ \left( 8+3 \sqrt{7} \right) }^2, { \left( 8+3 \sqrt{7} \right) }^3, { \left( 8+3 \sqrt{7} \right) }^4, ...} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde die kleinste natürliche Zahl, die sich auf mehrfache Weise als Summe von zwei Quadratzahlen darstellen lässt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $n$ eine natürliche Zahl, die modulo $8$ den Rest $7$ besitzt. Zeige, dass $n$ nicht als Summe von drei Quadraten darstellbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für jede natürliche Zahl $n \leq 30$, ob sie sich als eine Summe von drei Quadratzahlen darstellen lässt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für jede natürliche Zahl $n \leq 10$, auf wie viele verschiedene Arten sie sich als Summe von vier Quadratzahlen darstellen lässt, d.h. man bestimme die Anzahl der $4$-Tupel
\mathbeddisp {(x_1,x_2,x_3,x_4) \in \Z^4} {mit}
{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=n} {}
{} {} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zu einer natürlichen Zahl $n$ bezeichne $r(n)$ die Anzahl der Möglichkeiten, sie als Summe von vier Quadratzahlen darzustellen, d.h. $r(n)$ ist die Anzahl der $4$-Tupel
\mathbeddisp {(x_1,x_2,x_3,x_4) \in \Z^4} {mit}
{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=n} {}
{} {} {} {.}
Es sei $u$ eine ungerade positive Zahl. Beweise die Beziehung
\mathdisp {r(2u) =3r(u)} { . }
}
{} {Tipp: Zu einem Tupel
\mathl{(x_1,x_2,x_3,x_4)}{} kann man das Tupel
\mathl{(x_1-x_2,x_1+x_2,x_3-x_4,x_3+x_4)}{} betrachten.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{K \subseteq \R}{} ein
\definitionsverweis {Unterkörper}{}{.}
Zeige, dass dann auch $K[ { \mathrm i} ]$ ein Unterkörper von ${\mathbb C}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe
\mathl{65}{} und deren Produkt $1000$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Untergruppe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Z + \Z \cdot \sqrt{3}
}
{ \subseteq} {\R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {dicht}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $H$ eine (additive)
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
der reellen Zahlen $\R$. Zeige, dass entweder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ = }{{\Z} a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen reellen Zahl $a$ ist, oder aber $H$
\definitionsverweis {dicht}{}{}
in $\R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere ein Entscheidungsverfahren für die Frage, ob eine diophantische Gleichung in einer Variablen eine Lösung besitzt oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde mindestens eine ganzzahlige Lösung
\mathl{(x,y) \in \N_+ \times \N_+}{} für die diophantische Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^{k} +1
}
{ =} { y^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k, n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 2 }{ n } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ a } } + { \frac{ 1 }{ b } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\N$ bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \leq }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nur die Lösungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{a
}
{ = }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 2 }{ n } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ a } } + { \frac{ 1 }{ b } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\Z$ auch Lösungen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 2 }{ n } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ a } } + { \frac{ 1 }{ b } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\N$ auch Lösungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \neq }{ b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde eine nichttriviale ganzzahlige Lösung für das Gleichungssystem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ab
}
{ = }{c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a-1)d
}
{ = }{c-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{v \geq u \geq 0}{} natürliche Zahlen. Zeige, dass
\mathdisp {x = v^2-u^2, \, y = 2uv,\, z=u^2+v^2} { }
die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2 +y^2
}
{ =} {z^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $M$ die Menge der $n$-ten
\definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{}
in $K$. Zeige, dass $M$ eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der
\definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
$K^{\times}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Beweise die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungzwei {Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_1,b_2
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zwei Lösungen der Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^n
}
{ = }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_2
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so ist ihr Quotient
\mathl{b_1/b_2}{} eine $n$-te
\definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{.}
} {Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Lösung der Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^n
}
{ = }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $\zeta$ eine $n$-te Einheitswurzel ist, so ist auch $\zeta b$ eine Lösung der Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^n
}
{ = }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige: Um
den Satz von Wiles
für alle Exponenten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu zeigen, genügt es, ihn für alle ungeraden Primzahlen als Exponenten zu beweisen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^n+y^n
}
{ =} { z^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Fermat-Gleichung. Zeige: wenn es keine nichttriviale Lösung
\mathl{(x,y,z)}{} in natürlichen Zahlen gibt, so gibt es auch keine nichttriviale Lösung in ganzen Zahlen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige unter Verwendung
des Satzes von Wiles,
dass die diophantische Gleichung
\mathdisp {x^n+y^n+z^n =0} { }
für
\mathl{n \geq 2}{} keine von
\mathl{(0,0,0)}{} verschiedene Lösung besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass in
\mathl{\Z/(29)}{} die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^4 +y^4 +z^4
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nur die triviale Lösung
\mathl{(0,0,0)}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestätige die folgenden Identitäten.
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1+2^3
}
{ =} {3^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^5 + 7^2
}
{ =} { 3^4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 13^2 + 7^3
}
{ =} { 2^9
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestätige die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (-2+ { \mathrm i})^3 + (-2- { \mathrm i} )^3
}
{ =} { (1+ { \mathrm i})^4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}