Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 1

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Zeige, dass ${}{\sqrt {2}}$ eine irrationale Zahl ist.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Zeige unter Verwendung der eindeutigen Primfaktorzerlegung von natürlichen Zahlen, dass die reelle Zahl ${}{\sqrt {p}}$ irrational ist.

Aufgabe

Zeige

{}{\sqrt {10+{\sqrt {24}}+{\sqrt {40}}+{\sqrt {60}}}}={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}\,.

Aufgabe

Bestimme die Einheiten von ${}\mathbb {Z}$ und von ${}K[X]$ , wobei ${}K$ ein Körper sei.

Aufgabe

Berechne

{\left(8+3{\sqrt {7}}\right)}^{2},{\left(8+3{\sqrt {7}}\right)}^{3},{\left(8+3{\sqrt {7}}\right)}^{4},....

Aufgabe

Finde die kleinste natürliche Zahl, die sich auf mehrfache Weise als Summe von zwei Quadratzahlen darstellen lässt.

Aufgabe

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl, die modulo ${}8$ den Rest ${}7$ besitzt. Zeige, dass ${}n$ nicht als Summe von drei Quadraten darstellbar ist.

Aufgabe

Bestimme für jede natürliche Zahl ${}n\leq 30$ , ob sie sich als eine Summe von drei Quadratzahlen darstellen lässt.

Aufgabe

Bestimme für jede natürliche Zahl ${}n\leq 10$ , auf wie viele verschiedene Arten sie sich als Summe von vier Quadratzahlen darstellen lässt, d.h. man bestimme die Anzahl der ${}4$ -Tupel

(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in \mathbb {Z} ^{4}{\text{ mit }}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=n.

Aufgabe

Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ bezeichne ${}r(n)$ die Anzahl der Möglichkeiten, sie als Summe von vier Quadratzahlen darzustellen, d.h. ${}r(n)$ ist die Anzahl der ${}4$ -Tupel

(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in \mathbb {Z} ^{4}{\text{ mit }}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=n.

Es sei ${}u$ eine ungerade positive Zahl. Beweise die Beziehung

r(2u)=3r(u).

Tipp: Zu einem Tupel ${}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})$ kann man das Tupel ${}(x_{1}-x_{2},x_{1}+x_{2},x_{3}-x_{4},x_{3}+x_{4})$ betrachten.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq \mathbb {R}$ ein Unterkörper. Zeige, dass dann auch ${}K[{\mathrm {i} }]$ ein Unterkörper von ${}{\mathbb {C} }$ ist.

Aufgabe *

Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe ${}65$ und deren Produkt ${}1000$ ist.

Es sei ${}H$ eine (additive) Untergruppe der reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ . Zeige, dass entweder ${}H={\mathbb {Z} }a$ mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen reellen Zahl ${}a$ ist, oder aber ${}H$ dicht in ${}\mathbb {R}$ ist.

Aufgabe

Skizziere ein Entscheidungsverfahren für die Frage, ob eine diophantische Gleichung in einer Variablen eine Lösung besitzt oder nicht.

Aufgabe

Finde mindestens eine ganzzahlige Lösung ${}(x,y)\in \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+}$ für die diophantische Gleichung

{}x^{k}+1=y^{n}\,

für ${}k,n\geq 2$ .

Aufgabe

Zeige, dass die Gleichung

{}{\frac {2}{n}}={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\,

in ${}\mathbb {N}$ bei ${}a,b\leq n$ nur die Lösungen ${}n=a=b$ besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass die Gleichung

{}{\frac {2}{n}}={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\,

in ${}\mathbb {Z}$ auch Lösungen mit ${}a\neq b$ besitzt.

Aufgabe *

Zeige, dass die Gleichung

{}{\frac {2}{n}}={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\,

in ${}\mathbb {N}$ auch Lösungen ${}a\neq b$ besitzt.

Aufgabe

Finde eine nichttriviale ganzzahlige Lösung für das Gleichungssystem ${}ab=c$ und ${}(a-1)d=c-1$ .

Aufgabe

Es seien ${}v\geq u\geq 0$ natürliche Zahlen. Zeige, dass

x=v^{2}-u^{2},\,y=2uv,\,z=u^{2}+v^{2}

die Gleichung

{}x^{2}+y^{2}=z^{2}\,

erfüllen.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}n\in \mathbb {N}$ und sei ${}M$ die Menge der ${}n$ -ten Einheitswurzeln in ${}K$ . Zeige, dass ${}M$ eine Untergruppe der Einheitengruppe ${}K^{\times }$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}a\in K$ und ${}n\in \mathbb {N}$ . Beweise die folgenden Aussagen.

Wenn ${}b_{1},b_{2}\in K$ zwei Lösungen der Gleichung ${}X^{n}=a$ sind und ${}b_{2}\neq 0$ , so ist ihr Quotient ${}b_{1}/b_{2}$ eine ${}n$ -te Einheitswurzel.
Wenn ${}b\in K$ eine Lösung der Gleichung ${}X^{n}=a$ und ${}\zeta$ eine ${}n$ -te Einheitswurzel ist, so ist auch ${}\zeta b$ eine Lösung der Gleichung ${}X^{n}=a$ .

Aufgabe

Zeige: Um den Satz von Wiles für alle Exponenten ${}n\geq 3$ zu zeigen, genügt es, ihn für alle ungeraden Primzahlen als Exponenten zu beweisen.

Aufgabe

Es sei

{}x^{n}+y^{n}=z^{n}\,

eine Fermat-Gleichung. Zeige: wenn es keine nichttriviale Lösung ${}(x,y,z)$ in natürlichen Zahlen gibt, so gibt es auch keine nichttriviale Lösung in ganzen Zahlen.