Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 11/latex

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\zwischenueberschrift{Aufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} {R} { \prod_{p \text{ Primzahl} } R/pR } {f} { (f \operatorname{mod} Rp)_{p \text{ Primzahl} } } {,} wobei rechts das Produkt der \definitionsverweis {Faserringe}{}{} über alle Primzahlen steht, und komponentenweise die \definitionsverweis {Restklassenbildung}{}{} durchgeführt wird, \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{} zu
\mathl{840}{} in $\Z$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{} zu
\mathl{840}{} in $\Z[ { \mathrm i} ]$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{} zur Gaußschen Zahl
\mathl{5+7 { \mathrm i}}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} als ein Produkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f }
{ =} { u p_1^{\nu_1} \cdots p_r^{\nu_r} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit \definitionsverweis {Primelementen}{}{} $p_i$ und einer \definitionsverweis {Einheit}{}{} $u$ gegeben. Zeige, dass dann für den zugehörigen \definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{div} { \left( f \right) } }
{ =} { \nu_1 (p_1) + \cdots + \nu_r (p_r) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt, wobei die $(p_i)$ die von $p_i$ erzeugten \definitionsverweis {Primideale}{}{} bezeichnen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ \subseteq }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 }
{ \notin }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass ein \definitionsverweis {kommutatives Diagramm}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} R \setminus \{0\} & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \operatorname{Eff Div} (R) & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ R_S \setminus \{0\} & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \operatorname{Eff Div} (R_S) & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
vorliegt, wobei die vertikale Abbildung rechts einfach diejenigen Komponenten ${\mathfrak p}$ eines \definitionsverweis {effektiven Divisors}{}{} $D$ vergisst, die nicht zu $\operatorname{Spek} { \left( R_S \right) }$ gehören.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und
\mathl{f,g \in R}{,}
\mathl{f,g \neq 0}{.} Zeige ohne Verwendung des Bijektionssatzes, dass die \definitionsverweis {Hauptdivisoren}{}{} $\operatorname{div} { \left( f \right) }$ und
\mathl{\operatorname{div} { \left( g \right) }}{} genau dann gleich sind, wenn $f$ und $g$ \definitionsverweis {assoziiert}{}{} sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,g }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} von $0$ verschiedene Elemente. Zeige, dass $f$ genau dann ein Teiler von $g$ ist, wenn für die \definitionsverweis {Hauptdivisoren}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{div} { \left( f \right) } }
{ \leq} {\operatorname{div} { \left( g \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und sei
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {.} Zeige die beiden folgenden Äquivalenzen:

Das Element $f$ ist genau dann \definitionsverweis {prim}{}{,} wenn der zugehörige \definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
\mathl{\operatorname{div} { \left( f \right) }}{} die Gestalt $1 {\mathfrak p}$ mit einem \definitionsverweis {Primideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathfrak p} }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} besitzt.

Das Element $f$ ist genau dann \definitionsverweis {irreduzibel}{}{,} wenn
\mathl{\operatorname{div} { \left( f \right) }}{} minimal unter allen effektiven Hauptdivisoren $\neq 0$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{ \Z[\sqrt{-5}] }
{ = }{ \Z \oplus \Z \sqrt{-5} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ = }{-5 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Betrachte in $R$ die Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 \cdot 3 }
{ =} { (1+\sqrt{-5} )(1-\sqrt{-5}) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass die beteiligten Elemente \definitionsverweis {irreduzibel}{}{,} aber nicht \definitionsverweis {prim}{}{} sind, und bestimme für jedes dieser vier Elemente die Primoberideale. Bestimme die \definitionsverweis {Hauptdivisoren}{}{} zu diesen Elementen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {noetherscher}{}{} \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungfuenf{$R$ hat \definitionsverweis {Krulldimension}{}{} $0$. }{$R$ ist ein \definitionsverweis {artinscher Ring}{}{.} }{$R$ besitzt endlich viele \definitionsverweis {Primideale}{}{,} die alle \definitionsverweis {maximal}{}{} sind. }{Es gibt eine natürliche Zahl $n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}^n }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für jedes maximale Ideal ${\mathfrak m}$. }{Die \definitionsverweis {Reduktion}{}{} von $R$ ist ein Produkt von Körpern. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe die \definitionsverweis {nilpotenten Elemente}{}{} von
\mathl{\Z/(n)}{} und die \definitionsverweis {Reduktion}{}{} von
\mathl{\Z/(n)}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{n \geq 2}{} eine \definitionsverweis {natürliche Zahl}{}{.} Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungsieben{$n$ ist die \definitionsverweis {Potenz}{}{} einer \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} }{Der Restklassenring
\mathl{{\mathbb Z}/(n)}{} ist \definitionsverweis {zusammenhängend}{}{.} }{Der Restklassenring
\mathl{{\mathbb Z}/(n)}{} ist \definitionsverweis {lokal}{}{.} }{Die \definitionsverweis {Reduktion}{}{} von
\mathl{{\mathbb Z}/(n)}{} ist ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} }{Jeder Nullteiler von
\mathl{{\mathbb Z}/(n)}{} ist \definitionsverweis {nilpotent}{}{.} }{Der Restklassenring
\mathl{{\mathbb Z}/(n)}{} besitzt genau ein \definitionsverweis {Primideal}{}{.} }{Der Restklassenring
\mathl{{\mathbb Z}/(n)}{} besitzt genau ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{} und
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
\mathl{\operatorname{div} { \left( f \right) }}{} mit dem \definitionsverweis {Divisor}{}{} zum \definitionsverweis {Hauptideal}{}{} $(f)$ übereinstimmt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \subseteq }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein von $0$ verschiedenes \definitionsverweis {Ideal}{}{} mit einem \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ = }{ (f_1 , \ldots , f_n) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{div} ( {\mathfrak a} ) }
{ =} { \operatorname{min} { \left\{ \operatorname{div} { \left( f_i \right) } \mid i = 1 , \ldots , n \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass unter der Korrespondenz \zusatzklammer {siehe Satz 11.13} {} {} zwischen Idealen $\neq 0$ und Divisoren in einem \definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{} die \definitionsverweis {Summe}{}{} von Idealen dem Minimum von Divisoren entspricht.

}
{} {}