Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 11

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Aufgaben

Aufgabe

Es sei ein Zahlbereich. Zeige, dass der Ringhomomorphismus

wobei rechts das Produkt der Faserringe über alle Primzahlen steht, und komponentenweise die Restklassenbildung durchgeführt wird, injektiv ist.


Aufgabe

Bestimme den Hauptdivisor zu in .


Aufgabe

Bestimme den Hauptdivisor zu in .


Aufgabe

Bestimme den Hauptdivisor zur Gaußschen Zahl .


Aufgabe

Es sei ein Dedekindbereich und sei als ein Produkt

mit Primelementen und einer Einheit gegeben. Zeige, dass dann für den zugehörigen Hauptdivisor die Gleichheit

gilt, wobei die die von erzeugten Primideale bezeichnen.


Aufgabe

Es sei ein Dedekindbereich und ein multiplikatives System mit . Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

vorliegt, wobei die vertikale Abbildung rechts einfach diejenigen Komponenten eines effektiven Divisors vergisst, die nicht zu gehören.


Aufgabe

Sei ein Zahlbereich und , . Zeige ohne Verwendung des Bijektionssatzes, dass die Hauptdivisoren und genau dann gleich sind, wenn und assoziiert sind.


Aufgabe

Es sei ein Zahlbereich und seien von verschiedene Elemente. Zeige, dass genau dann ein Teiler von ist, wenn für die Hauptdivisoren die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Es sei ein Zahlbereich und sei , . Zeige die beiden folgenden Äquivalenzen:

Das Element ist genau dann prim, wenn der zugehörige Hauptdivisor die Gestalt mit einem Primideal besitzt.

Das Element ist genau dann irreduzibel, wenn minimal unter allen effektiven Hauptdivisoren ist.


Aufgabe

Es sei der quadratische Zahlbereich zu . Betrachte in die Zerlegung

Zeige, dass die beteiligten Elemente irreduzibel, aber nicht prim sind, und bestimme für jedes dieser vier Elemente die Primoberideale. Bestimme die Hauptdivisoren zu diesen Elementen.


Aufgabe

Es sei ein noetherscher kommutativer Ring. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

  1. hat Krulldimension .
  2. ist ein artinscher Ring.
  3. besitzt endlich viele Primideale, die alle maximal sind.
  4. Es gibt eine natürliche Zahl mit für jedes maximale Ideal .
  5. Die Reduktion von ist ein Produkt von Körpern.


Aufgabe

Beschreibe die nilpotenten Elemente von und die Reduktion von .


Aufgabe

Sei eine natürliche Zahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. ist die Potenz einer Primzahl.
  2. Der Restklassenring ist zusammenhängend.
  3. Der Restklassenring ist lokal.
  4. Die Reduktion von ist ein Körper.
  5. Jeder Nullteiler von ist nilpotent.
  6. Der Restklassenring besitzt genau ein Primideal.
  7. Der Restklassenring besitzt genau ein maximales Ideal.


Aufgabe

Es sei ein Dedekindbereich und , . Zeige, dass der Hauptdivisor mit dem Divisor zum Hauptideal übereinstimmt.


Aufgabe

Es sei ein Zahlbereich und ein von verschiedenes Ideal mit einem Erzeugendensystem . Zeige


Aufgabe

Zeige, dass unter der Korrespondenz (siehe Satz 11.13) zwischen Idealen und Divisoren in einem Dedekindbereich die Summe von Idealen dem Minimum von Divisoren entspricht.



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