Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 11

Aufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Zeige, dass der Ringhomomorphismus

$R\longrightarrow \prod _{p{\text{ Primzahl}}}R/pR,\,f\longmapsto (f\operatorname {mod} Rp)_{p{\text{ Primzahl}}},$

wobei rechts das Produkt der Faserringe über alle Primzahlen steht, und komponentenweise die Restklassenbildung durchgeführt wird, injektiv ist.

Aufgabe

Bestimme den Hauptdivisor zu ${}840$ in ${}\mathbb {Z}$.

Aufgabe

Bestimme den Hauptdivisor zu ${}840$ in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$.

Aufgabe

Bestimme den Hauptdivisor zur Gaußschen Zahl ${}5+7{\mathrm {i} }$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und sei ${}f\in R$ als ein Produkt

${}f=up_{1}^{\nu _{1}}\cdots p_{r}^{\nu _{r}}\,$

mit Primelementen ${}p_{i}$ und einer Einheit ${}u$ gegeben. Zeige, dass dann für den zugehörigen Hauptdivisor die Gleichheit

${}\operatorname {div} {\left(f\right)}=\nu _{1}(p_{1})+\cdots +\nu _{r}(p_{r})\,$

gilt, wobei die ${}(p_{i})$ die von ${}p_{i}$ erzeugten Primideale bezeichnen.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System mit ${}0\notin S$. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}R\setminus \{0\}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {EffDiv} (R)&\\\downarrow &&\downarrow &\\R_{S}\setminus \{0\}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {EffDiv} (R_{S})&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vorliegt, wobei die vertikale Abbildung rechts einfach diejenigen Komponenten ${}{\mathfrak {p}}$ eines effektiven Divisors ${}D$ vergisst, die nicht zu ${}\operatorname {Spek} {\left(R_{S}\right)}$ gehören.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}f,g\in R$, ${}f,g\neq 0$. Zeige ohne Verwendung des Bijektionssatzes, dass die Hauptdivisoren ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ und ${}\operatorname {div} {\left(g\right)}$ genau dann gleich sind, wenn ${}f$ und ${}g$ assoziiert sind.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und seien ${}f,g\in R$ von ${}0$ verschiedene Elemente. Zeige, dass ${}f$ genau dann ein Teiler von ${}g$ ist, wenn für die Hauptdivisoren die Beziehung

${}\operatorname {div} {\left(f\right)}\leq \operatorname {div} {\left(g\right)}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei ${}f\in R$, ${}f\neq 0$. Zeige die beiden folgenden Äquivalenzen:

Das Element ${}f$ ist genau dann prim, wenn der zugehörige Hauptdivisor ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ die Gestalt ${}1{\mathfrak {p}}$ mit einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ besitzt.

Das Element ${}f$ ist genau dann irreduzibel, wenn ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ minimal unter allen effektiven Hauptdivisoren ${}\neq 0$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} {\sqrt {-5}}$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=-5$. Betrachte in ${}R$ die Zerlegung

${}2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})\,.$

Zeige, dass die beteiligten Elemente irreduzibel, aber nicht prim sind, und bestimme für jedes dieser vier Elemente die Primoberideale. Bestimme die Hauptdivisoren zu diesen Elementen.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein noetherscher kommutativer Ring. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. ${}R$ hat Krulldimension ${}0$.
2. ${}R$ ist ein artinscher Ring.
3. ${}R$ besitzt endlich viele Primideale, die alle maximal sind.
4. Es gibt eine natürliche Zahl ${}n$ mit ${}{\mathfrak {m}}^{n}=0$ für jedes maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$.
5. Die Reduktion von ${}R$ ist ein Produkt von Körpern.

Aufgabe

Beschreibe die nilpotenten Elemente von ${}\mathbb {Z} /(n)$ und die Reduktion von ${}\mathbb {Z} /(n)$.

Aufgabe

Es sei ${}n\geq 2$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}n$ ist die Potenz einer Primzahl.
2. Der Restklassenring ${}{\mathbb {Z} }/(n)$ ist zusammenhängend.
3. Der Restklassenring ${}{\mathbb {Z} }/(n)$ ist lokal.
4. Die Reduktion von ${}{\mathbb {Z} }/(n)$ ist ein Körper.
5. Jeder Nullteiler von ${}{\mathbb {Z} }/(n)$ ist nilpotent.
6. Der Restklassenring ${}{\mathbb {Z} }/(n)$ besitzt genau ein Primideal.
7. Der Restklassenring ${}{\mathbb {Z} }/(n)$ besitzt genau ein maximales Ideal.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und ${}f\in R$, ${}f\neq 0$. Zeige, dass der Hauptdivisor ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ mit dem Divisor zum Hauptideal ${}(f)$ übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal mit einem Erzeugendensystem ${}{\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{n})$. Zeige

${}\operatorname {div} ({\mathfrak {a}})=\operatorname {min} {\left\{\operatorname {div} {\left(f_{i}\right)}\mid i=1,\ldots ,n\right\}}\,.$

Aufgabe

Zeige, dass unter der Korrespondenz (siehe Satz 11.13) zwischen Idealen ${}\neq 0$ und Divisoren in einem Dedekindbereich die Summe von Idealen dem Minimum von Divisoren entspricht.