Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 11

Aufgaben

Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich. Zeige, dass der Ringhomomorphismus

$R⟶\prod _{p\text{ Primzahl}}R/pR,f⟼(f\mathrm{mod}Rp{)}_{p\text{ Primzahl}},$

wobei rechts das Produkt der Faserringe über alle Primzahlen steht, und komponentenweise die Restklassenbildung durchgeführt wird, injektiv ist.

Aufgabe

Bestimme den Hauptdivisor zu $840$ in $\mathbb{Z}$.

Aufgabe

Bestimme den Hauptdivisor zu $840$ in $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$.

Aufgabe

Bestimme den Hauptdivisor zur Gaußschen Zahl $5+7\mathrm{i}$.

Aufgabe

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und sei  $f\in R$  als ein Produkt

$f=u{p}_1^{{\nu }_1}\cdots p_r^{{\nu }_r}$

mit Primelementen $p_i$ und einer Einheit $u$ gegeben. Zeige, dass dann für den zugehörigen Hauptdivisor die Gleichheit

$\mathrm{div}\left(f\right)={\nu }_1(p_1)+\cdots +{\nu }_r(p_r)$

gilt, wobei die $(p_i)$ die von $p_i$ erzeugten Primideale bezeichnen.

Aufgabe

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und  $S\subseteq R$  ein multiplikatives System mit  $0\notin S$.  Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

$\begin{array}{cccc}R\setminus \{0\}& \stackrel{}{⟶}& \mathrm{EffDiv}(R)& \\ \downarrow & & \downarrow & \\ R_S\setminus \{0\}& \stackrel{}{⟶}& \mathrm{EffDiv}(R_S)& \end{array}$

vorliegt, wobei die vertikale Abbildung rechts einfach diejenigen Komponenten $𝔭$ eines effektiven Divisors $D$ vergisst, die nicht zu $\mathrm{Spek}\left(R_S\right)$ gehören.

Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und $f,g\in R$, $f,g\ne 0$. Zeige ohne Verwendung des Bijektionssatzes, dass die Hauptdivisoren $\mathrm{div}\left(f\right)$ und $\mathrm{div}\left(g\right)$ genau dann gleich sind, wenn $f$ und $g$ assoziiert sind.

Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und seien  $f,g\in R$  von $0$ verschiedene Elemente. Zeige, dass $f$ genau dann ein Teiler von $g$ ist, wenn für die Hauptdivisoren die Beziehung

$\mathrm{div}\left(f\right)\le \mathrm{div}\left(g\right)$

gilt.

Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und sei $f\in R$, $f\ne 0$. Zeige die beiden folgenden Äquivalenzen:

Das Element $f$ ist genau dann prim, wenn der zugehörige Hauptdivisor $\mathrm{div}\left(f\right)$ die Gestalt $1𝔭$ mit einem Primideal  $𝔭\ne 0$  besitzt.

Das Element $f$ ist genau dann irreduzibel, wenn $\mathrm{div}\left(f\right)$ minimal unter allen effektiven Hauptdivisoren $\ne 0$ ist.

Aufgabe

Es sei  $R=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\sqrt{-5}$  der quadratische Zahlbereich zu  $D=-5$.  Betrachte in $R$ die Zerlegung

$2\cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}).$

Zeige, dass die beteiligten Elemente irreduzibel, aber nicht prim sind, und bestimme für jedes dieser vier Elemente die Primoberideale. Bestimme die Hauptdivisoren zu diesen Elementen.

Aufgabe

Es sei $R$ ein noetherscher kommutativer Ring. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

1. $R$ hat Krulldimension $0$.
2. $R$ ist ein artinscher Ring.
3. $R$ besitzt endlich viele Primideale, die alle maximal sind.
4. Es gibt eine natürliche Zahl $n$ mit  ${𝔪}^n=0$  für jedes maximale Ideal $𝔪$.
5. Die Reduktion von $R$ ist ein Produkt von Körpern.

Aufgabe

Beschreibe die nilpotenten Elemente von $\mathbb{Z}/(n)$ und die Reduktion von $\mathbb{Z}/(n)$.

Aufgabe

Es sei  $n\ge 2$  eine natürliche Zahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. $n$ ist die Potenz einer Primzahl.
2. Der Restklassenring $\mathbb{Z}/(n)$ ist zusammenhängend.
3. Der Restklassenring $\mathbb{Z}/(n)$ ist lokal.
4. Die Reduktion von $\mathbb{Z}/(n)$ ist ein Körper.
5. Jeder Nullteiler von $\mathbb{Z}/(n)$ ist nilpotent.
6. Der Restklassenring $\mathbb{Z}/(n)$ besitzt genau ein Primideal.
7. Der Restklassenring $\mathbb{Z}/(n)$ besitzt genau ein maximales Ideal.

Aufgabe

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und $f\in R$, $f\ne 0$. Zeige, dass der Hauptdivisor $\mathrm{div}\left(f\right)$ mit dem Divisor zum Hauptideal $(f)$ übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und  $𝔞\subseteq R$  ein von $0$ verschiedenes Ideal mit einem Erzeugendensystem  $𝔞=(f_1,\dots ,f_n)$.  Zeige

$\mathrm{div}(𝔞)=\min \{\mathrm{div}\left(f_i\right)\mid i=1,\dots ,n\}.$

Aufgabe

Zeige, dass unter der Korrespondenz (siehe Satz 11.13) zwischen Idealen $\ne 0$ und Divisoren in einem Dedekindbereich die Summe von Idealen dem Minimum von Divisoren entspricht.