Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 13/latex
\setcounter{section}{13}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{.}
Definiere zu einem Element
\mathbed {q \in Q(R)} {}
{q \neq 0} {}
{} {} {} {,} die Ordnung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (q)
}
{ \in} { \Z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei soll die Definition mit der
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
für Elemente aus $R$ übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus
\maabb {} {Q(R) \setminus \{0\} } { \Z
} {}
definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{.}
Zeige, dass die Abbildung, die einem Element
\mathbed {q \in Q(R)} {}
{q \neq 0} {}
{} {} {} {,}
den
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
\mathl{\operatorname{div} { \left( q \right) }}{} zuordnet, folgende Eigenschaften besitzt.
\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{div} { \left( q_1 q_2 \right) }
}
{ = }{ \operatorname{div} { \left( q_1 \right) } + \operatorname{div} { \left( q_2 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{div} { \left( q_1+ q_2 \right) }
}
{ \geq }{ \min \{ \operatorname{div} { \left( q_1 \right) } , \operatorname{div} { \left( q_2 \right) } \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
Zeige insbesondere, dass diese Zuordnung einen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {Q(R) \setminus \{0\} } { \operatorname{Div} { \left( R \right) }
} {}
definiert und dass die Hauptdivisoren eine Untergruppe der Divisoren bilden.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
$Q(R)$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ \in }{Q(R) \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn der
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
\mathl{\operatorname{div} { \left( q \right) }}{}
\definitionsverweis {effektiv}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
$Q(R)$ und sei $D$ ein
\definitionsverweis {Divisor}{}{.}
Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\mathl{D + \operatorname{div} { \left( q \right) }}{}
\definitionsverweis {effektiv}{}{}
ist.
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {RationalDegree2byXedi.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { RationalDegree2byXedi.svg } {} {Krishnavedala} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
\maabb {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {,}
die an der Stelle
\mathl{2- { \mathrm i}}{} einen Pol der Ordnung $4$, in
\mathl{-3 +5 { \mathrm i}}{} eine Nullstelle der Ordnung $2$ und in $-3$ einen Pol der Ordnung $3$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
\maabb {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {.}
Zeige, dass $f$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{{\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann eine Nullstelle der Ordnung $k$ besitzt, wenn $f^{-1}$ in $a$ einen Pol der Ordnung $k$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{.}
Definiere zu einem
\definitionsverweis {Divisor}{}{}
$D$ den \anfuehrung{konjugierten Divisor}{} $\overline{D}$. Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ \in }{ Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mathl{q \neq 0}{,} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overline{ \operatorname{div} { \left( q \right) } }
}
{ =} { \operatorname{div} { \left( \overline {q} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise, dass es zu einem \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} $R$ einen \definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {Q(R)^{\times} / R^{\times} } { H } {} gibt, wobei $H$ die Gruppe der \definitionsverweis {Hauptdivisoren}{}{} bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme in
\mathl{\Z[\sqrt{-2}]}{} einen größten gemeinsamen Teiler für
\mathkor {} {22 +25 \sqrt{-2}} {und} {43- 23 \sqrt{-2}} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ \Z [\sqrt{-6}]
}
{ \cong }{ { \Z}[X]/(X^2+6)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Berechne den
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q
}
{ =} { \frac{2}{3} - \frac{1}{4} \sqrt{-6}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { \Z[\sqrt{-6}]
}
{ \cong} { \Z[X]/(X^2+6)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Berechne den Hauptdivisor zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q
}
{ =} {\frac{4}{5} + \frac{2}{3} \sqrt{-6}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{A_{14}
}
{ = }{\Z[\sqrt{14}]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{14
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Berechne zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q
}
{ =} {\frac{3}{5} - \frac{1}{7} \sqrt{14}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den zugehörigen
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{R =A_{-15}=\Z[\frac{1+\sqrt{-15} }{2}]}{} der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
zu
\mathl{D=-15}{.} Berechne zu
\mathdisp {q= \frac{3}{10} - \frac{5}{6} \sqrt{-15}} { }
den zugehörigen
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
und stelle ihn als Differenz zweier
\definitionsverweis {effektiver Divisoren}{}{}
dar.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{R =A_{-11}=\Z[\frac{1+\sqrt{-11} }{2}]}{} der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{} zu
\mathl{D=-11}{.} Berechne mittels des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von
\mathdisp {35 + \sqrt{-11} \mbox{ und }-89 + 21 \sqrt{-11}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{R =A_{-7}=\Z[\frac{1+\sqrt{-7} }{2}]}{} der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{} zu
\mathl{D=-7}{.} Bestimme die Primfaktorzerlegung von
\mathdisp {4 + 9 \sqrt{-7}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $D$ quadratfrei mit
\mathl{D=3 \mod 4}{} und
\mathl{D < -1}{.} Zeige, dass
\mathl{(2, 1 + \sqrt{D})}{} ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
im
\definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{}
$A_D$ ist, aber kein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{.}
Folgere, dass diese Ringe nicht faktoriell sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Im
\definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{}
\mathl{A_6 \cong \Z[\sqrt{6}]}{} gilt
\mathdisp {2\cdot 3 = \sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} { . }
Finde die Primfaktorzerlegungen (?) der beteiligten Faktoren und des Produktes.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Im
\definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{}
\mathl{A_{-6} \cong \Z[\sqrt{-6}]}{} gilt
\mathdisp {- 2\cdot 3 = \sqrt{-6} \cdot \sqrt{-6}} { . }
Kann man diese Produkte weiter zerlegen, sind die beteiligten Faktoren prim?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $D$ quadratfrei und betrachte
\mathl{\Z[\sqrt{D}] \subseteq A_D}{.} Charakterisiere für die beiden Ringe, wann $\sqrt{D}$ prim ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme in
\mathl{\Z[\sqrt{-2}]}{} einen größten gemeinsamen Teiler für
\mathkor {} {-169 + 2 \sqrt{-2}} {und} {-70 + 113 \sqrt{-2}} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{D \leq -2}{} quadratfrei und betrachte
\mathl{R=\Z[\sqrt{D}]}{.} Zeige, dass die einzige Faktorisierung (bis auf Einheiten) von $D$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D
}
{ =} { \sqrt{D} \sqrt{D}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist. Zeige damit, dass $\sqrt{D}$ irreduzibel ist. Zeige ferner, dass falls $-D$ keine Primzahl ist, dann auch $\sqrt{D}$ nicht prim in $R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme einen Erzeuger für das
\definitionsverweis {gebrochene Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f}
}
{ \subseteq }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das durch die rationalen Zahlen
\mathdisp {\frac{4}{7}, \, \frac{7}{10}, \, \frac{13}{8}\,} { }
erzeugt wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Der Floh Kurt lebt auf einem unendlichen Lineal und befindet sich in der Nullposition. Er verfügt über drei Sprünge, nämlich
\mathdisp {\frac{11}{77}, \;\frac{25}{49},\; \frac{82}{15}} { . }
Berechne das zugehörige
\definitionsverweis {gebrochene Ideal}{}{,}
das seinem Lebensraum entspricht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{\Z[ { \mathrm i} ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Berechne einen Erzeuger für das gebrochene Ideal aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q(R)
}
{ = }{\Q[{ \mathrm i}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das durch die beiden Erzeuger
\mathdisp {\frac{5}{7} \text{ und } \frac{-8+6 { \mathrm i} }{5}} { }
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Die Flöhin Paola lebt in der komplexen Ebene und befindet sich im Nullpunkt. Sie verfügt über drei Sprünge, nämlich
\mathdisp {\frac{3}{4}-\frac{2}{5} { \mathrm i}, \, 2 +\frac{2}{3} { \mathrm i},\, \frac{1}{7}+ 7 { \mathrm i}} { . }
Man gebe eine einfache Beschreibung des
\definitionsverweis {gebrochenen Ideals}{}{,}
das ihrem Lebensraum entspricht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{R =A_{-13}=\Z[\sqrt{-13}]}{} der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
zu
\mathl{D=-13}{.} Berechne zu
\mathdisp {q= \frac{2}{3} - \frac{5}{7} \sqrt{-13}} { }
den zugehörigen
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
und stelle ihn als Differenz zweier
\definitionsverweis {effektiver Divisoren}{}{}
dar.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathkor {} {{\mathfrak f}} {und} {{\mathfrak g}} {}
\definitionsverweis {gebrochene Ideale}{}{}
in einem
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
$R$. Es gelte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f} \cdot {\mathfrak g}
}
{ =} { R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f}
}
{ =} { {\mathfrak g}^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in einem
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
$R$ mit dem zugehörigen
\definitionsverweis {effektiven Divisor}{}{}
$E$. Zeige, dass das
\definitionsverweis {inverse gebrochene Ideal}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}^{-1}
}
{ =} { { \left\{ q \in Q(R) \mid q \cdot {\mathfrak a} \subseteq R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gleich dem zu $-E$ gehörenden gebrochenen Ideal
\mathl{\operatorname{Id} (-E)}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und es seien
\mathkor {} {{\mathfrak f}} {und} {{\mathfrak g}} {}
\definitionsverweis {gebrochene Ideale}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass wenn es ein
\mathbed {r \in Q(R)} {}
{r \neq 0} {}
{} {} {} {,}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak g}
}
{ =} { r {\mathfrak f}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt, dass dann die Multiplikation mit $r$, also
\maabbeledisp {} {Q(R)} {Q(R)
} {f} {rf
} {,}
einen
$R$-\definitionsverweis {Modulisomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { {\mathfrak f} } { {\mathfrak g}
} {}
induziert.
} {Zeige, dass wenn es irgendeinen $R$-Modulisomorphismus
\maabbdisp {\varphi} { {\mathfrak f} } { {\mathfrak g}
} {}
gibt, dass es dann schon ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak g}
}
{ =} { r {\mathfrak f}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt, und dass der Isomorphismus eine Multiplikation ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige direkt, dass die \definitionsverweis {gebrochenen Ideale}{}{} $\neq 0$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} bilden, und dass die gebrochenen Hauptideale darin eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man jedes
\definitionsverweis {gebrochene Ideal}{}{}
${\mathfrak f}$ in einem
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
$R$ in der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f}
}
{ =} { {\mathfrak a} \cdot {\mathfrak b}^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\definitionsverweis {Idealen}{}{}
\mathkor {} {{\mathfrak a}} {und} {{\mathfrak b}} {}
darstellen kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mathl{K[X,Y]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
in zwei Variablen und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathfrak m}
}
{ = }{ (X,Y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m} \cdot {\mathfrak m}^2
}
{ =} { {\mathfrak m} \cdot (X^2,Y^2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Man folgere, dass die
\definitionsverweis {gebrochenen Ideale}{}{}
$\neq 0$ zu diesem Ring keine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
bezüglich der
\definitionsverweis {Multiplikation von Idealen}{}{}
bilden kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{.}
Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungzwei {Es sei ${\mathfrak f}$ ein
\definitionsverweis {gebrochenes Ideal}{}{}
mit einer Darstellung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f}
}
{ = }{ { \frac{ {\mathfrak a} }{ h } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einem Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{div} { \left( {\mathfrak f} \right) }
}
{ =} { \operatorname{div} { \left( {\mathfrak a} \right) } - \operatorname{div} { \left( h \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Zu einem
\definitionsverweis {Divisor}{}{}
$D$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E
}
{ = }{ D+ \operatorname{div} { \left( h \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {effektiv}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Id}(D)
}
{ =} { { \frac{ \operatorname{Id}(E) }{ h } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Führe die Einzelheiten im Beweis zu Satz 13.16 aus.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{(f_1 , \ldots , f_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{f_i
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in einem
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
$R$ und sei vorausgesetzt, dass das inverse
\definitionsverweis {gebrochene Ideal}{}{}
${\mathfrak a}^{-1}$ die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}^{-1}
}
{ =} { ( f_1^{-1} , \ldots , f_n^{-1} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
hat. Zeige, dass ${\mathfrak a}$ ein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.} Erweitere die \zusatzklammer {multiplikative} {} {} \definitionsverweis {Normabbildung}{}{} \maabbeledisp {} { \text{Ideale} \, (R)} { (\N_+ , \cdot) } { {\mathfrak a} } { N( {\mathfrak a}) } {,} zu einem \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {\text{Gebrochene Ideale} \, (R) } { \Q^{\times} } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde eine
\zusatzklammer {additive} {} {}
Gruppe $G$ und
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{}
\mathkor {} {\varphi} {und} {\psi} {}
derart, dass das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} \text{Gebrochene Ideale} \, (R) & \stackrel{\sim}{\longrightarrow} & \operatorname{Div} { \left( R \right) } \\ \!\!\! \!\!\! \operatorname{Norm} \downarrow & & \downarrow \psi \\ \,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\Q^{\times} & \stackrel{\varphi }{\longrightarrow} & \!\!\! \!\!\! G \end{matrix}} { }
kommutiert und dass $\varphi$ injektiv ist.
}
{} {}