Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 13/latex

Aus Wikiversity

\setcounter{section}{13}






\zwischenueberschrift{Aufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{.} Definiere zu einem Element
\mathbed {q \in Q(R)} {}
{q \neq 0} {}
{} {} {} {,} die Ordnung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (q) }
{ \in} { \Z }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dabei soll die Definition mit der \definitionsverweis {Ordnung}{}{} für Elemente aus $R$ übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus \maabb {} {Q(R) \setminus \{0\} } { \Z } {} definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{.} Zeige, dass die Abbildung, die einem Element
\mathbed {q \in Q(R)} {}
{q \neq 0} {}
{} {} {} {,} den \definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
\mathl{\operatorname{div} { \left( q \right) }}{} zuordnet, folgende Eigenschaften besitzt. \aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{div} { \left( q_1 q_2 \right) } }
{ = }{ \operatorname{div} { \left( q_1 \right) } + \operatorname{div} { \left( q_2 \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} } {Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{div} { \left( q_1+ q_2 \right) } }
{ \geq }{ \min \{ \operatorname{div} { \left( q_1 \right) } , \operatorname{div} { \left( q_2 \right) } \} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} } Zeige insbesondere, dass diese Zuordnung einen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {Q(R) \setminus \{0\} } { \operatorname{Div} { \left( R \right) } } {} definiert und dass die Hauptdivisoren eine Untergruppe der Divisoren bilden.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $Q(R)$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ \in }{Q(R) \setminus \{0\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann gilt, wenn der \definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
\mathl{\operatorname{div} { \left( q \right) }}{} \definitionsverweis {effektiv}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $Q(R)$ und sei $D$ ein \definitionsverweis {Divisor}{}{.} Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass
\mathl{D + \operatorname{div} { \left( q \right) }}{} \definitionsverweis {effektiv}{}{} ist.

}
{} {}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {RationalDegree2byXedi.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { RationalDegree2byXedi.svg } {} {Krishnavedala} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {rationale Funktion}{}{} \maabb {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {,} die an der Stelle
\mathl{2- { \mathrm i}}{} einen Pol der Ordnung $4$, in
\mathl{-3 +5 { \mathrm i}}{} eine Nullstelle der Ordnung $2$ und in $-3$ einen Pol der Ordnung $3$ besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {rationale Funktion}{}{} \maabb {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {.} Zeige, dass $f$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{{\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann eine Nullstelle der Ordnung $k$ besitzt, wenn $f^{-1}$ in $a$ einen Pol der Ordnung $k$ besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{.} Definiere zu einem \definitionsverweis {Divisor}{}{} $D$ den \anfuehrung{konjugierten Divisor}{} $\overline{D}$. Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ \in }{ Q(R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mathl{q \neq 0}{,} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overline{ \operatorname{div} { \left( q \right) } } }
{ =} { \operatorname{div} { \left( \overline {q} \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beweise, dass es zu einem \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} $R$ einen \definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {Q(R)^{\times} / R^{\times} } { H } {} gibt, wobei $H$ die Gruppe der \definitionsverweis {Hauptdivisoren}{}{} bezeichnet.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme in
\mathl{\Z[\sqrt{-2}]}{} einen größten gemeinsamen Teiler für \mathkor {} {22 +25 \sqrt{-2}} {und} {43- 23 \sqrt{-2}} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{ \Z [\sqrt{-6}] }
{ \cong }{ { \Z}[X]/(X^2+6) }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Berechne den \definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{} zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q }
{ =} { \frac{2}{3} - \frac{1}{4} \sqrt{-6} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ =} { \Z[\sqrt{-6}] }
{ \cong} { \Z[X]/(X^2+6) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Berechne den Hauptdivisor zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q }
{ =} {\frac{4}{5} + \frac{2}{3} \sqrt{-6} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{A_{14} }
{ = }{\Z[\sqrt{14}] }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ = }{14 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Berechne zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q }
{ =} {\frac{3}{5} - \frac{1}{7} \sqrt{14} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} den zugehörigen \definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{R =A_{-15}=\Z[\frac{1+\sqrt{-15} }{2}]}{} der \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{} zu
\mathl{D=-15}{.} Berechne zu
\mathdisp {q= \frac{3}{10} - \frac{5}{6} \sqrt{-15}} { }
den zugehörigen \definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{} und stelle ihn als Differenz zweier \definitionsverweis {effektiver Divisoren}{}{} dar.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{R =A_{-11}=\Z[\frac{1+\sqrt{-11} }{2}]}{} der \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{} zu
\mathl{D=-11}{.} Berechne mittels des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von
\mathdisp {35 + \sqrt{-11} \mbox{ und }-89 + 21 \sqrt{-11}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{R =A_{-7}=\Z[\frac{1+\sqrt{-7} }{2}]}{} der \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{} zu
\mathl{D=-7}{.} Bestimme die Primfaktorzerlegung von
\mathdisp {4 + 9 \sqrt{-7}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $D$ quadratfrei mit
\mathl{D=3 \mod 4}{} und
\mathl{D < -1}{.} Zeige, dass
\mathl{(2, 1 + \sqrt{D})}{} ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} im \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{} $A_D$ ist, aber kein \definitionsverweis {Hauptideal}{}{.} Folgere, dass diese Ringe nicht faktoriell sind.

}
{} {}





\inputaufgabe
{}
{

Im \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{}
\mathl{A_6 \cong \Z[\sqrt{6}]}{} gilt
\mathdisp {2\cdot 3 = \sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} { . }
Finde die Primfaktorzerlegungen (?) der beteiligten Faktoren und des Produktes.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Im \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{}
\mathl{A_{-6} \cong \Z[\sqrt{-6}]}{} gilt
\mathdisp {- 2\cdot 3 = \sqrt{-6} \cdot \sqrt{-6}} { . }
Kann man diese Produkte weiter zerlegen, sind die beteiligten Faktoren prim?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $D$ quadratfrei und betrachte
\mathl{\Z[\sqrt{D}] \subseteq A_D}{.} Charakterisiere für die beiden Ringe, wann $\sqrt{D}$ prim ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme in
\mathl{\Z[\sqrt{-2}]}{} einen größten gemeinsamen Teiler für \mathkor {} {-169 + 2 \sqrt{-2}} {und} {-70 + 113 \sqrt{-2}} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{D \leq -2}{} quadratfrei und betrachte
\mathl{R=\Z[\sqrt{D}]}{.} Zeige, dass die einzige Faktorisierung (bis auf Einheiten) von $D$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D }
{ =} { \sqrt{D} \sqrt{D} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben ist. Zeige damit, dass $\sqrt{D}$ irreduzibel ist. Zeige ferner, dass falls $-D$ keine Primzahl ist, dann auch $\sqrt{D}$ nicht prim in $R$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme einen Erzeuger für das \definitionsverweis {gebrochene Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f} }
{ \subseteq }{ \Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} das durch die rationalen Zahlen
\mathdisp {\frac{4}{7}, \, \frac{7}{10}, \, \frac{13}{8}\,} { }
erzeugt wird.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Der Floh Kurt lebt auf einem unendlichen Lineal und befindet sich in der Nullposition. Er verfügt über drei Sprünge, nämlich
\mathdisp {\frac{11}{77}, \;\frac{25}{49},\; \frac{82}{15}} { . }
Berechne das zugehörige \definitionsverweis {gebrochene Ideal}{}{,} das seinem Lebensraum entspricht.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{\Z[ { \mathrm i} ] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Berechne einen Erzeuger für das gebrochene Ideal aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q(R) }
{ = }{\Q[{ \mathrm i}] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} das durch die beiden Erzeuger
\mathdisp {\frac{5}{7} \text{ und } \frac{-8+6 { \mathrm i} }{5}} { }
gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Die Flöhin Paola lebt in der komplexen Ebene und befindet sich im Nullpunkt. Sie verfügt über drei Sprünge, nämlich
\mathdisp {\frac{3}{4}-\frac{2}{5} { \mathrm i}, \, 2 +\frac{2}{3} { \mathrm i},\, \frac{1}{7}+ 7 { \mathrm i}} { . }
Man gebe eine einfache Beschreibung des \definitionsverweis {gebrochenen Ideals}{}{,} das ihrem Lebensraum entspricht.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{R =A_{-13}=\Z[\sqrt{-13}]}{} der \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{} zu
\mathl{D=-13}{.} Berechne zu
\mathdisp {q= \frac{2}{3} - \frac{5}{7} \sqrt{-13}} { }
den zugehörigen \definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{} und stelle ihn als Differenz zweier \definitionsverweis {effektiver Divisoren}{}{} dar.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {{\mathfrak f}} {und} {{\mathfrak g}} {} \definitionsverweis {gebrochene Ideale}{}{} in einem \definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{} $R$. Es gelte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f} \cdot {\mathfrak g} }
{ =} { R }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f} }
{ =} { {\mathfrak g}^{-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \subseteq }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in einem \definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{} $R$ mit dem zugehörigen \definitionsverweis {effektiven Divisor}{}{} $E$. Zeige, dass das \definitionsverweis {inverse gebrochene Ideal}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}^{-1} }
{ =} { { \left\{ q \in Q(R) \mid q \cdot {\mathfrak a} \subseteq R \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gleich dem zu $-E$ gehörenden gebrochenen Ideal
\mathl{\operatorname{Id} (-E)}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und es seien \mathkor {} {{\mathfrak f}} {und} {{\mathfrak g}} {} \definitionsverweis {gebrochene Ideale}{}{.} \aufzaehlungzwei {Zeige, dass wenn es ein
\mathbed {r \in Q(R)} {}
{r \neq 0} {}
{} {} {} {,} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak g} }
{ =} { r {\mathfrak f} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt, dass dann die Multiplikation mit $r$, also \maabbeledisp {} {Q(R)} {Q(R) } {f} {rf } {,} einen $R$-\definitionsverweis {Modulisomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { {\mathfrak f} } { {\mathfrak g} } {} induziert. } {Zeige, dass wenn es irgendeinen $R$-Modulisomorphismus \maabbdisp {\varphi} { {\mathfrak f} } { {\mathfrak g} } {} gibt, dass es dann schon ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ \in }{Q(R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak g} }
{ =} { r {\mathfrak f} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt, und dass der Isomorphismus eine Multiplikation ist. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige direkt, dass die \definitionsverweis {gebrochenen Ideale}{}{} $\neq 0$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} bilden, und dass die gebrochenen Hauptideale darin eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} bilden.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass man jedes \definitionsverweis {gebrochene Ideal}{}{} ${\mathfrak f}$ in einem \definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{} $R$ in der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f} }
{ =} { {\mathfrak a} \cdot {\mathfrak b}^{-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit \definitionsverweis {Idealen}{}{} \mathkor {} {{\mathfrak a}} {und} {{\mathfrak b}} {} darstellen kann.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{K[X,Y]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} in zwei Variablen und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathfrak m} }
{ = }{ (X,Y) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m} \cdot {\mathfrak m}^2 }
{ =} { {\mathfrak m} \cdot (X^2,Y^2) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Man folgere, dass die \definitionsverweis {gebrochenen Ideale}{}{} $\neq 0$ zu diesem Ring keine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} bezüglich der \definitionsverweis {Multiplikation von Idealen}{}{} bilden kann.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{.} Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungzwei {Es sei ${\mathfrak f}$ ein \definitionsverweis {gebrochenes Ideal}{}{} mit einer Darstellung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f} }
{ = }{ { \frac{ {\mathfrak a} }{ h } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und einem Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \subseteq }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{div} { \left( {\mathfrak f} \right) } }
{ =} { \operatorname{div} { \left( {\mathfrak a} \right) } - \operatorname{div} { \left( h \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} } {Zu einem \definitionsverweis {Divisor}{}{} $D$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E }
{ = }{ D+ \operatorname{div} { \left( h \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {effektiv}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Id}(D) }
{ =} { { \frac{ \operatorname{Id}(E) }{ h } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Führe die Einzelheiten im Beweis zu Satz 13.16 aus.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ = }{(f_1 , \ldots , f_n) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{f_i }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in einem \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} $R$ und sei vorausgesetzt, dass das inverse \definitionsverweis {gebrochene Ideal}{}{} ${\mathfrak a}^{-1}$ die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}^{-1} }
{ =} { ( f_1^{-1} , \ldots , f_n^{-1} ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} hat. Zeige, dass ${\mathfrak a}$ ein \definitionsverweis {Hauptideal}{}{} sein muss.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.} Erweitere die \zusatzklammer {multiplikative} {} {} \definitionsverweis {Normabbildung}{}{} \maabbeledisp {} { \text{Ideale} \, (R)} { (\N_+ , \cdot) } { {\mathfrak a} } { N( {\mathfrak a}) } {,} zu einem \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {\text{Gebrochene Ideale} \, (R) } { \Q^{\times} } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Finde eine \zusatzklammer {additive} {} {} Gruppe $G$ und \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{} \mathkor {} {\varphi} {und} {\psi} {} derart, dass das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} \text{Gebrochene Ideale} \, (R) & \stackrel{\sim}{\longrightarrow} & \operatorname{Div} { \left( R \right) } \\ \!\!\! \!\!\! \operatorname{Norm} \downarrow & & \downarrow \psi \\ \,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\Q^{\times} & \stackrel{\varphi }{\longrightarrow} & \!\!\! \!\!\! G \end{matrix}} { }
kommutiert und dass $\varphi$ injektiv ist.

}
{} {}