Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 13

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Aufgaben

Aufgabe

Es sei ein diskreter Bewertungsring. Definiere zu einem Element , , die Ordnung

Dabei soll die Definition mit der Ordnung für Elemente aus übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?


Aufgabe

Es sei ein Dedekindbereich. Zeige, dass die Abbildung, die einem Element , , den Hauptdivisor zuordnet, folgende Eigenschaften besitzt.

  1. Es ist .
  2. Es ist .

Zeige insbesondere, dass diese Zuordnung einen Gruppenhomomorphismus

definiert und dass die Hauptdivisoren eine Untergruppe der Divisoren bilden.


Aufgabe *

Es sei ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper und sei . Zeige, dass genau dann gilt, wenn der Hauptdivisor effektiv ist.


Aufgabe

Es sei ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper und sei ein Divisor. Zeige, dass es ein derart gibt, dass effektiv ist.


RationalDegree2byXedi.svg

Aufgabe

Bestimme eine rationale Funktion , die an der Stelle einen Pol der Ordnung , in eine Nullstelle der Ordnung und in einen Pol der Ordnung besitzt.


Aufgabe

Es sei eine rationale Funktion . Zeige, dass in genau dann eine Nullstelle der Ordnung besitzt, wenn in einen Pol der Ordnung besitzt.


Aufgabe

Es sei ein quadratischer Zahlbereich. Definiere zu einem Divisor den „konjugierten Divisor“ . Zeige, dass für , , die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Beweise, dass es zu einem Zahlbereich einen Gruppenisomorphismus

gibt, wobei die Gruppe der Hauptdivisoren bezeichnet.


Aufgabe

Bestimme in einen größten gemeinsamen Teiler für und .


Aufgabe

Es sei . Berechne den Hauptdivisor zu


Aufgabe *

Es sei

Berechne den Hauptdivisor zu


Aufgabe *

Es sei der quadratische Zahlbereich zu . Berechne zu

den zugehörigen Hauptdivisor.


Aufgabe

Sei der quadratische Zahlbereich zu . Berechne zu

den zugehörigen Hauptdivisor und stelle ihn als Differenz zweier effektiver Divisoren dar.


Aufgabe

Sei der quadratische Zahlbereich zu . Berechne mittels des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von


Aufgabe

Sei der quadratische Zahlbereich zu . Bestimme die Primfaktorzerlegung von


Aufgabe

Sei quadratfrei mit und . Zeige, dass ein Primideal im quadratischen Zahlbereich ist, aber kein Hauptideal. Folgere, dass diese Ringe nicht faktoriell sind.


Aufgabe

Im quadratischen Zahlbereich gilt

Finde die Primfaktorzerlegungen (?) der beteiligten Faktoren und des Produktes.


Aufgabe

Im quadratischen Zahlbereich gilt

Kann man diese Produkte weiter zerlegen, sind die beteiligten Faktoren prim?


Aufgabe

Sei quadratfrei und betrachte . Charakterisiere für die beiden Ringe, wann prim ist.


Aufgabe

Bestimme in einen größten gemeinsamen Teiler für und .


Aufgabe

Sei quadratfrei und betrachte . Zeige, dass die einzige Faktorisierung (bis auf Einheiten) von durch

gegeben ist. Zeige damit, dass irreduzibel ist. Zeige ferner, dass falls keine Primzahl ist, dann auch nicht prim in ist.


Aufgabe

Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal , das durch die rationalen Zahlen

erzeugt wird.


Aufgabe

Der Floh Kurt lebt auf einem unendlichen Lineal und befindet sich in der Nullposition. Er verfügt über drei Sprünge, nämlich

Berechne das zugehörige gebrochene Ideal, das seinem Lebensraum entspricht.


Aufgabe *

Es sei . Berechne einen Erzeuger für das gebrochene Ideal aus , das durch die beiden Erzeuger

gegeben ist.


Aufgabe

Die Flöhin Paola lebt in der komplexen Ebene und befindet sich im Nullpunkt. Sie verfügt über drei Sprünge, nämlich

Man gebe eine einfache Beschreibung des gebrochenen Ideals, das ihrem Lebensraum entspricht.


Aufgabe

Sei der quadratische Zahlbereich zu . Berechne zu

den zugehörigen Hauptdivisor und stelle ihn als Differenz zweier effektiver Divisoren dar.


Aufgabe *

Es seien und gebrochene Ideale in einem Dedekindbereich . Es gelte

Zeige, dass dann

ist.


Aufgabe

Es sei ein Ideal in einem Dedekindbereich mit dem zugehörigen effektiven Divisor . Zeige, dass das inverse gebrochene Ideal

gleich dem zu gehörenden gebrochenen Ideal ist.


Aufgabe

Es sei ein Zahlbereich und es seien und gebrochene Ideale.

  1. Zeige, dass wenn es ein , , mit

    gibt, dass dann die Multiplikation mit , also

    einen -Modulisomorphismus

    induziert.

  2. Zeige, dass wenn es irgendeinen -Modulisomorphismus

    gibt, dass es dann schon ein mit

    gibt, und dass der Isomorphismus eine Multiplikation ist.


Aufgabe

Zeige direkt, dass die gebrochenen Ideale eine Gruppe bilden, und dass die gebrochenen Hauptideale darin eine Untergruppe bilden.


Aufgabe

Zeige, dass man jedes gebrochene Ideal in einem Dedekindbereich in der Form

mit Idealen und darstellen kann.


Aufgabe

Es sei ein Körper und der Polynomring in zwei Variablen und . Zeige

Man folgere, dass die gebrochenen Ideale zu diesem Ring keine Gruppe bezüglich der Multiplikation von Idealen bilden kann.


Aufgabe

Es sei ein Dedekindbereich. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Es sei ein gebrochenes Ideal mit einer Darstellung mit und einem Ideal . Dann ist
  2. Zu einem Divisor mit effektiv ist


Aufgabe

Führe die Einzelheiten im Beweis zu Satz 13.16 aus.


Aufgabe

Es sei (mit ) ein Ideal in einem Zahlbereich und sei vorausgesetzt, dass das inverse gebrochene Ideal die Gestalt

hat. Zeige, dass ein Hauptideal sein muss.


Aufgabe

Es sei ein Zahlbereich. Erweitere die (multiplikative) Normabbildung

zu einem Gruppenhomomorphismus


Aufgabe

Finde eine (additive) Gruppe und Gruppenhomomorphismen und derart, dass das Diagramm

kommutiert und dass injektiv ist.


<< | Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021) | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)