Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 13

Aufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring. Definiere zu einem Element ${}q\in Q(R)$, ${}q\neq 0$, die Ordnung

${}\operatorname {ord} \,(q)\in \mathbb {Z} \,.$

Dabei soll die Definition mit der Ordnung für Elemente aus ${}R$ übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus ${}Q(R)\setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {Z}$ definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich. Zeige, dass die Abbildung, die einem Element ${}q\in Q(R)$, ${}q\neq 0$, den Hauptdivisor ${}\operatorname {div} {\left(q\right)}$ zuordnet, folgende Eigenschaften besitzt.

1. Es ist ${}\operatorname {div} {\left(q_{1}q_{2}\right)}=\operatorname {div} {\left(q_{1}\right)}+\operatorname {div} {\left(q_{2}\right)}$.
2. Es ist ${}\operatorname {div} {\left(q_{1}+q_{2}\right)}\geq \min\{\operatorname {div} {\left(q_{1}\right)},\operatorname {div} {\left(q_{2}\right)}\}$.

Zeige insbesondere, dass diese Zuordnung einen Gruppenhomomorphismus

$Q(R)\setminus \{0\}\longrightarrow \operatorname {Div} {\left(R\right)}$

definiert und dass die Hauptdivisoren eine Untergruppe der Divisoren bilden.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$ und sei ${}q\in Q(R)\setminus \{0\}$. Zeige, dass ${}q\in R$ genau dann gilt, wenn der Hauptdivisor ${}\operatorname {div} {\left(q\right)}$ effektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$ und sei ${}D$ ein Divisor. Zeige, dass es ein ${}q\in R$ derart gibt, dass ${}D+\operatorname {div} {\left(q\right)}$ effektiv ist.

Aufgabe

Bestimme eine rationale Funktion ${}{\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$, die an der Stelle ${}2-{\mathrm {i} }$ einen Pol der Ordnung ${}4$, in ${}-3+5{\mathrm {i} }$ eine Nullstelle der Ordnung ${}2$ und in ${}-3$ einen Pol der Ordnung ${}3$ besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}f\neq 0$ eine rationale Funktion ${}f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$. Zeige, dass ${}f$ in ${}a\in {\mathbb {C} }$ genau dann eine Nullstelle der Ordnung ${}k$ besitzt, wenn ${}f^{-1}$ in ${}a$ einen Pol der Ordnung ${}k$ besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein quadratischer Zahlbereich. Definiere zu einem Divisor ${}D$ den „konjugierten Divisor“ ${}{\overline {D}}$. Zeige, dass für ${}q\in Q(R)$, ${}q\neq 0$, die Beziehung

${}{\overline {\operatorname {div} {\left(q\right)}}}=\operatorname {div} {\left({\overline {q}}\right)}\,$

gilt.

Aufgabe

Beweise, dass es zu einem Zahlbereich ${}R$ einen Gruppenisomorphismus

$Q(R)^{\times }/R^{\times }\longrightarrow H$

gibt, wobei ${}H$ die Gruppe der Hauptdivisoren bezeichnet.

Aufgabe

Bestimme in ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]$ einen größten gemeinsamen Teiler für ${}22+25{\sqrt {-2}}$ und ${}43-23{\sqrt {-2}}$.

Aufgabe

Es sei ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-6}}]\cong {\mathbb {Z} }[X]/(X^{2}+6)$. Berechne den Hauptdivisor zu

${}q={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {-6}}\,.$

Aufgabe *

Es sei

${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-6}}]\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}+6)\,.$

Berechne den Hauptdivisor zu

${}q={\frac {4}{5}}+{\frac {2}{3}}{\sqrt {-6}}\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}R=A_{14}=\mathbb {Z} [{\sqrt {14}}]$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=14$. Berechne zu

${}q={\frac {3}{5}}-{\frac {1}{7}}{\sqrt {14}}\,$

den zugehörigen Hauptdivisor.

Aufgabe

Es sei ${}R=A_{-15}=\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-15}}}{2}}]$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=-15$. Berechne zu

$q={\frac {3}{10}}-{\frac {5}{6}}{\sqrt {-15}}$

den zugehörigen Hauptdivisor und stelle ihn als Differenz zweier effektiver Divisoren dar.

Aufgabe

Es sei ${}R=A_{-11}=\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-11}}}{2}}]$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=-11$. Berechne mittels des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von

$35+{\sqrt {-11}}{\mbox{ und }}-89+21{\sqrt {-11}}.$

Aufgabe

Es sei ${}R=A_{-7}=\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-7}}}{2}}]$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=-7$. Bestimme die Primfaktorzerlegung von

$4+9{\sqrt {-7}}.$

Aufgabe

Es sei ${}D$ quadratfrei mit ${}D=3\mod 4$ und ${}D<-1$. Zeige, dass ${}(2,1+{\sqrt {D}})$ ein Primideal im quadratischen Zahlbereich ${}A_{D}$ ist, aber kein Hauptideal. Folgere, dass diese Ringe nicht faktoriell sind.

Aufgabe

Im quadratischen Zahlbereich ${}A_{6}\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {6}}]$ gilt

$2\cdot 3={\sqrt {6}}\cdot {\sqrt {6}}.$

Finde die Primfaktorzerlegungen (?) der beteiligten Faktoren und des Produktes.

Aufgabe

Im quadratischen Zahlbereich ${}A_{-6}\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {-6}}]$ gilt

$-2\cdot 3={\sqrt {-6}}\cdot {\sqrt {-6}}.$

Kann man diese Produkte weiter zerlegen, sind die beteiligten Faktoren prim?

Aufgabe

Es sei ${}D$ quadratfrei und betrachte ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subseteq A_{D}$. Charakterisiere für die beiden Ringe, wann ${}{\sqrt {D}}$ prim ist.

Aufgabe

Bestimme in ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]$ einen größten gemeinsamen Teiler für ${}-169+2{\sqrt {-2}}$ und ${}-70+113{\sqrt {-2}}$.

Aufgabe

Es sei ${}D\leq -2$ quadratfrei und betrachte ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$. Zeige, dass die einzige Faktorisierung (bis auf Einheiten) von ${}D$ durch

${}D={\sqrt {D}}{\sqrt {D}}\,$

gegeben ist. Zeige damit, dass ${}{\sqrt {D}}$ irreduzibel ist. Zeige ferner, dass falls ${}-D$ keine Primzahl ist, dann auch ${}{\sqrt {D}}$ nicht prim in ${}R$ ist.

Aufgabe

Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal ${}{\mathfrak {f}}\subseteq \mathbb {Q}$, das durch die rationalen Zahlen

${\frac {4}{7}},\,{\frac {7}{10}},\,{\frac {13}{8}}\,$

erzeugt wird.

Aufgabe

Der Floh Kurt lebt auf einem unendlichen Lineal und befindet sich in der Nullposition. Er verfügt über drei Sprünge, nämlich

${\frac {11}{77}},\;{\frac {25}{49}},\;{\frac {82}{15}}.$

Berechne das zugehörige gebrochene Ideal, das seinem Lebensraum entspricht.

Aufgabe *

Es sei ${}R=\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$. Berechne einen Erzeuger für das gebrochene Ideal aus ${}Q(R)=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$, das durch die beiden Erzeuger

${\frac {5}{7}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {-8+6{\mathrm {i} }}{5}}$

gegeben ist.

Aufgabe

Die Flöhin Paola lebt in der komplexen Ebene und befindet sich im Nullpunkt. Sie verfügt über drei Sprünge, nämlich

${\frac {3}{4}}-{\frac {2}{5}}{\mathrm {i} },\,2+{\frac {2}{3}}{\mathrm {i} },\,{\frac {1}{7}}+7{\mathrm {i} }.$

Man gebe eine einfache Beschreibung des gebrochenen Ideals, das ihrem Lebensraum entspricht.

Aufgabe

Es sei ${}R=A_{-13}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-13}}]$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=-13$. Berechne zu

$q={\frac {2}{3}}-{\frac {5}{7}}{\sqrt {-13}}$

den zugehörigen Hauptdivisor und stelle ihn als Differenz zweier effektiver Divisoren dar.

Aufgabe *

Es seien ${}{\mathfrak {f}}$ und ${}{\mathfrak {g}}$ gebrochene Ideale in einem Dedekindbereich ${}R$. Es gelte

${}{\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {g}}=R\,.$

Zeige, dass dann

${}{\mathfrak {f}}={\mathfrak {g}}^{-1}\,$

ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal in einem Dedekindbereich ${}R$ mit dem zugehörigen effektiven Divisor ${}E$. Zeige, dass das inverse gebrochene Ideal

${}{\mathfrak {a}}^{-1}={\left\{q\in Q(R)\mid q\cdot {\mathfrak {a}}\subseteq R\right\}}\,$

gleich dem zu ${}-E$ gehörenden gebrochenen Ideal ${}\operatorname {Id} (-E)$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und es seien ${}{\mathfrak {f}}$ und ${}{\mathfrak {g}}$ gebrochene Ideale.

1. Zeige, dass wenn es ein ${}r\in Q(R)$, ${}r\neq 0$, mit

   ${}{\mathfrak {g}}=r{\mathfrak {f}}\,$

   gibt, dass dann die Multiplikation mit ${}r$, also

   $Q(R)\longrightarrow Q(R),\,f\longmapsto rf,$

   einen ${}R$- Modulisomorphismus

   ${\mathfrak {f}}\longrightarrow {\mathfrak {g}}$

   induziert.

2. Zeige, dass wenn es irgendeinen ${}R$-Modulisomorphismus

   $\varphi \colon {\mathfrak {f}}\longrightarrow {\mathfrak {g}}$

   gibt, dass es dann schon ein ${}r\in Q(R)$ mit

   ${}{\mathfrak {g}}=r{\mathfrak {f}}\,$

   gibt, und dass der Isomorphismus eine Multiplikation ist.

Aufgabe

Zeige direkt, dass die gebrochenen Ideale ${}\neq 0$ eine Gruppe bilden, und dass die gebrochenen Hauptideale darin eine Untergruppe bilden.

Aufgabe

Zeige, dass man jedes gebrochene Ideal ${}{\mathfrak {f}}$ in einem Dedekindbereich ${}R$ in der Form

${}{\mathfrak {f}}={\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}^{-1}\,$

mit Idealen ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}{\mathfrak {b}}$ darstellen kann.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K[X,Y]$ der Polynomring in zwei Variablen und ${}{\mathfrak {m}}=(X,Y)$. Zeige

${}{\mathfrak {m}}\cdot {\mathfrak {m}}^{2}={\mathfrak {m}}\cdot (X^{2},Y^{2})\,.$

Man folgere, dass die gebrochenen Ideale ${}\neq 0$ zu diesem Ring keine Gruppe bezüglich der Multiplikation von Idealen bilden kann.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Es sei ${}{\mathfrak {f}}$ ein gebrochenes Ideal mit einer Darstellung ${}{\mathfrak {f}}={\frac {\mathfrak {a}}{h}}$ mit ${}h\in R$ und einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$. Dann ist

   ${}\operatorname {div} {\left({\mathfrak {f}}\right)}=\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}-\operatorname {div} {\left(h\right)}\,.$

2. Zu einem Divisor ${}D$ mit ${}E=D+\operatorname {div} {\left(h\right)}$ effektiv ist

   ${}\operatorname {Id} (D)={\frac {\operatorname {Id} (E)}{h}}\,.$

Aufgabe

Führe die Einzelheiten im Beweis zu Satz 13.16 aus.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{n})$ (mit ${}f_{i}\neq 0$) ein Ideal in einem Zahlbereich ${}R$ und sei vorausgesetzt, dass das inverse gebrochene Ideal ${}{\mathfrak {a}}^{-1}$ die Gestalt

${}{\mathfrak {a}}^{-1}=(f_{1}^{-1},\ldots ,f_{n}^{-1})\,$

hat. Zeige, dass ${}{\mathfrak {a}}$ ein Hauptideal sein muss.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Erweitere die (multiplikative) Normabbildung

${\text{Ideale}}\,(R)\longrightarrow (\mathbb {N} _{+},\cdot ),\,{\mathfrak {a}}\longmapsto N({\mathfrak {a}}),$

zu einem Gruppenhomomorphismus

${\text{Gebrochene Ideale}}\,(R)\longrightarrow \mathbb {Q} ^{\times }.$

Aufgabe

Finde eine (additive) Gruppe ${}G$ und Gruppenhomomorphismen ${}\varphi$ und ${}\psi$ derart, dass das Diagramm

${\begin{matrix}{\text{Gebrochene Ideale}}\,(R)&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&\operatorname {Div} {\left(R\right)}\\\!\!\!\!\!\!\operatorname {Norm} \downarrow &&\downarrow \psi \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathbb {Q} ^{\times }&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&\!\!\!\!\!\!G\end{matrix}}$

kommutiert und dass ${}\varphi$ injektiv ist.