Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 17/latex
\setcounter{section}{17}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Schreibe den $5$-ten
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
\mathl{K_{ 5 }}{} als
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{}
von
\mathl{\Q[\sqrt{5}]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wie viele Unterkörper besitzt der Kreisteilungskörper
\mathl{K_{ 13 }}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Betrachte das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {X^{p-1} + X^{p-2} + \cdots + X^2 +X +1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $P$
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
in $\Q[X]$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $L$ der neunte
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
über $\Q$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L \cap \R
}
{ \cong} { \Q[X]/ { \left( X^3-3X+1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K_n$ der $n$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
über $\Q$ und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L_n
}
{ =} {K_n \cap \R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L_n
}
{ \subseteq }{K_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$2$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{n \in \N}{} ungerade. Zeige, dass der $n$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{} mit dem $2n$-ten Kreisteilungskörper übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Kreisteilungspolynome}{}{}
$\Phi_{n}$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \leq }{15
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der konstante Koeffizient der
\definitionsverweis {Kreisteilungspolynome}{}{}
\mathl{\Phi_{n}}{} immer $1$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für verschiedene $n$ auch die
\definitionsverweis {Kreisteilungspolynome}{}{}
\mathl{\Phi_{n}}{} verschieden sind, dass aber die
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
gleich sein können.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass in
\mathl{{\mathbb C}[X]}{} die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^n-1
}
{ =} { \prod_{ d {{|}} n} \Phi_{d}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{ K_{ n }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {in ${\mathbb C}$} {} {}
der $n$-te Kreisteilungskörper und sei $\zeta$ eine $n$-te primitive Einheitswurzel. Wir betrachten die Elemente
\mathbed {\zeta^{i}} {}
{i \in { \left( \Z/(n) \right) }^{\times}} {}
{} {} {} {.}
a) Zeige, dass für eine Primzahl $n=p$ diese Elemente eine $\Q$-Basis von $K_{ n }$ bilden.
b) Es sei $p$ eine Primzahl und
\mathl{n=p^2}{.} Zeige, dass diese Elemente keine $\Q$-Basis von $K_{ n }$ bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{n \in \N}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{ K_{ n }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der $n$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
und sei $\zeta$ eine $n$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass für jedes $k$ die
\zusatzklammer {benachbarten} {} {}
Einheitswurzeln
\mathdisp {\zeta^k, \zeta^{k+1} , \ldots , \zeta^{k+ {\varphi (n)} -1}} { }
eine
$\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $K_{ n }$.
} {Bilden die primitiven $n$-ten Einheitswurzeln stets eine $\Q$-Basis von $K_{ n }$?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Norm}{}{} und die \definitionsverweis {Spur}{}{} der $n$-ten komplexen Einheitswurzeln im $n$-ten \definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{\zeta_n \in {\mathbb C}}{} eine $n$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{,}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{ \Q[\zeta_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der zugehörige Kreisteilungskörper. Zeige, dass es
\definitionsverweis {galoissche Körpererweiterungen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, deren
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\definitionsverweis {zyklisch}{}{}
der
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
$n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das achte Kreisteilungspolynom
\mathl{X^4 + 1}{} über allen endlichen Primkörpern
\mathl{\mathbb{F}_p}{} reduzibel ist.
}
{} {Hinweis: Zeige, dass
\mathl{{\mathbb F}_{ p^2 }}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \neq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bereits eine primitive achte Einheitswurzel enthält.}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{{\mathbb F}_{ q }}{} ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
mit $q$ Elementen und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $a$ der
\definitionsverweis {größte gemeinsame Teiler}{}{}
von
\mathkor {} {n} {und} {q-1} {.}
Zeige, dass es in
\mathl{{\mathbb F}_{ q }}{} genau $a$ $n$-te Einheitswurzeln gibt.
Man folgere, dass es $n$ $n$-te Einheitswurzeln in
\mathl{{\mathbb F}_{ q }}{} genau dann gibt, wenn $n$ ein Teiler von $q-1$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine Primzahl und $n$ eine natürliche Zahl, die wir als
\mathl{n=kp^a}{} schreiben mit
\mathkor {} {k} {und} {p} {}
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{.}
Zeige, dass der $n$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{} über ${\mathbb F}_p$ gleich ${\mathbb F}_{q}$ ist
\zusatzklammer {mit \mathlk{q=p^e}{}} {} {,} wobei $q$ die minimale echte Potenz von $p$ mit der Eigenschaft ist, dass
\mathl{q-1}{} ein Vielfaches von $k$ ist. Zeige insbesondere, dass es ein solches $q$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K_p$ der $p$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
zu einer Primzahl $p$ und sei $\zeta$ eine primitive $p$-te Einheitswurzel. Bestimme die Übergangsmatrix und ihre
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
für die
$\Q$-\definitionsverweis {Basen}{}{}
\mathl{1, \zeta,\zeta^2 , \ldots , \zeta^{p-2 }}{} und
\mathl{\zeta,\zeta^2 , \ldots , ,\zeta^{p-2}, \zeta^{p-1 }}{} von $K_p$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die Zwischenkörper des $7$-ten
\definitionsverweis {Kreisteilungskörpers}{}{}
\mathl{K_{ 7 }}{.} Dabei soll jeweils eine Restklassendarstellung explizit angegeben werden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{K_{ n }}{} der $n$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{,}
\mathl{n \geq 3}{.} Zeige, dass es einen Zwischenkörper
\mathbed {L} {}
{\Q \subseteq L \subseteq K_{ n }} {}
{} {} {} {,}
gibt, der eine
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{}
von $\Q$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $\zeta$ eine primitive $7.$ Einheitswurzel. Wir betrachten das Element
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { \zeta+ \zeta^2- \zeta^3+ \zeta^4- \zeta^5 - \zeta^6
}
{ \in} { \Z[\zeta]
}
{ =} { R_7
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im siebten
\definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Skizziere $1, \zeta,\zeta^2,\zeta^3, \zeta^4, \zeta^5,\zeta^6$ und verorte $y$ geometrisch.
}{Berechne $y^2$.
}{Bestimme einen
\definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{,}
der im siebten Kreisteilungsring enthalten ist.
}
}
{} {}
Für eine weitgehende Verallgemeinerung dieses Sachverhaltes siehe Lemma 23.8.
\inputaufgabe
{}
{
Analysiere für den zwölften
\definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{}
$R_{12}$ das Zerlegungsverhalten für die Primzahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \leq }{20
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Studiere dabei auch das Zerlegungsverhalten in den Zwischenringen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_3
}
{ = }{ \Z[ { \frac{ 1+ \sqrt{-3} }{ 2 } } ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_4
}
{ = }{ \Z[ { \mathrm i} ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mathl{\Z[\sqrt{3} ]}{.}
}
{} {}