Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 17

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Aufgaben

Aufgabe *

Schreibe den -ten Kreisteilungskörper als quadratische Körpererweiterung von .


Aufgabe *

Wie viele Unterkörper besitzt der Kreisteilungskörper ?


Aufgabe

Es sei eine Primzahl. Betrachte das Polynom

Zeige, dass irreduzibel in ist.


Aufgabe

Es sei der neunte Kreisteilungskörper über . Zeige


Aufgabe *

Es sei der -te Kreisteilungskörper über und

Zeige, dass bei die Körpererweiterung den Grad besitzt.


Aufgabe

Es sei ungerade. Zeige, dass der -te Kreisteilungskörper mit dem -ten Kreisteilungskörper übereinstimmt.


Aufgabe

Bestimme die Kreisteilungspolynome für .


Aufgabe

Zeige, dass für der konstante Koeffizient der Kreisteilungspolynome immer ist.


Aufgabe

Zeige, dass für verschiedene auch die Kreisteilungspolynome verschieden sind, dass aber die Kreisteilungskörper gleich sein können.


Aufgabe *

Es sei . Zeige, dass in die Gleichung

gilt.


Aufgabe *

Es sei (in ) der -te Kreisteilungskörper und sei eine -te primitive Einheitswurzel. Wir betrachten die Elemente , .

a) Zeige, dass für eine Primzahl diese Elemente eine -Basis von bilden.

b) Es sei eine Primzahl und . Zeige, dass diese Elemente keine -Basis von bilden.


Aufgabe

Es sei , der -te Kreisteilungskörper und sei eine -te primitive Einheitswurzel.

  1. Zeige, dass für jedes die (benachbarten) Einheitswurzeln

    eine -Basis von .

  2. Bilden die primitiven -ten Einheitswurzeln stets eine -Basis von ?


Aufgabe

Bestimme die Norm und die Spur der -ten komplexen Einheitswurzeln im -ten Kreisteilungskörper.


Aufgabe

Es sei eine -te primitive Einheitswurzel, und der zugehörige Kreisteilungskörper. Zeige, dass es galoissche Körpererweiterungen gibt, deren Galoisgruppe zyklisch der Ordnung ist.


Aufgabe

Zeige, dass das achte Kreisteilungspolynom über allen endlichen Primkörpern reduzibel ist.

Hinweis: Zeige, dass für bereits eine primitive achte Einheitswurzel enthält.

Aufgabe *

Es sei ein endlicher Körper mit Elementen und . Es sei der größte gemeinsame Teiler von und . Zeige, dass es in genau -te Einheitswurzeln gibt.

Man folgere, dass es -te Einheitswurzeln in genau dann gibt, wenn ein Teiler von ist.


Aufgabe

Es sei eine Primzahl und eine natürliche Zahl, die wir als schreiben mit und teilerfremd. Zeige, dass der -te Kreisteilungskörper über gleich ist (mit ), wobei die minimale echte Potenz von mit der Eigenschaft ist, dass ein Vielfaches von ist. Zeige insbesondere, dass es ein solches gibt.


Aufgabe

Es sei der -te Kreisteilungskörper zu einer Primzahl und sei eine primitive -te Einheitswurzel. Bestimme die Übergangsmatrix und ihre Determinante für die -Basen und von .


Aufgabe *

Bestimme die Zwischenkörper des -ten Kreisteilungskörpers . Dabei soll jeweils eine Restklassendarstellung explizit angegeben werden.


Aufgabe

Es sei der -te Kreisteilungskörper, . Zeige, dass es einen Zwischenkörper , , gibt, der eine quadratische Körpererweiterung von ist.


Aufgabe *

Es sei eine primitive Einheitswurzel. Wir betrachten das Element

im siebten Kreisteilungsring.

  1. Skizziere und verorte geometrisch.
  2. Berechne .
  3. Bestimme einen quadratischen Zahlbereich, der im siebten Kreisteilungsring enthalten ist.


Für eine weitgehende Verallgemeinerung dieses Sachverhaltes siehe Lemma 23.8.

Aufgabe

Analysiere für den zwölften Kreisteilungsring das Zerlegungsverhalten für die Primzahlen . Studiere dabei auch das Zerlegungsverhalten in den Zwischenringen , und .






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