Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 2/latex

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\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}


Zwei Elemente $a$ und $b$ eines \definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{} $R$ heißen \definitionswort {assoziiert}{,} wenn es eine \definitionsverweis {Einheit}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{ub }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.





\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Assoziiertheit}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beweise die folgenden Eigenschaften zur Teilbarkeit in einem kommutativen Ring $R$

\aufzaehlungsechs{Für jedes Element $a$ gilt
\mathl{1 | a}{} und
\mathl{a | a}{.} }{Für jedes Element $a$ gilt
\mathl{a | 0}{.} }{Gilt
\mathl{a | b}{} und
\mathl{b | c}{,} so gilt auch
\mathl{a | c}{.} }{Gilt
\mathl{a | b}{} und
\mathl{c | d}{,} so gilt auch
\mathl{ac | bd}{.} }{Gilt
\mathl{a | b}{,} so gilt auch
\mathl{ac | bc}{} für jedes
\mathl{c \in R}{.} }{Gilt
\mathl{a | b}{} und
\mathl{a | c}{,} so gilt auch
\mathl{a | rb+sc}{} für beliebige Elemente $r,s \in R$.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten. \aufzaehlungzwei {Sind $a$ und $b$ \definitionsverweis {assoziiert}{}{,} so gilt
\mathl{a | c}{} genau dann, wenn $b | c$. } {Ist $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{,} so gilt hiervon auch die Umkehrung. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten. \aufzaehlungvier{$-1$ ist eine \definitionsverweis {Einheit}{}{,} die zu sich selbst invers ist. }{Jede Einheit teilt jedes Element. }{Sind $a$ und $b$ assoziiert, so gilt
\mathl{a | c}{} genau dann, wenn $b | c$. }{Teilt $a$ eine Einheit, so ist $a$ selbst eine Einheit.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {Unterring}{}{} eines \definitionsverweis {Körpers}{}{} ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und seien $f,g$ \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} in $R$. Zeige, dass das Produkt $fg$ ebenfalls ein Nichtnullteiler ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Was bedeutet die Eigenschaft, dass man in einem \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} \anfuehrung{kürzen}{} kann? Beweise diese Eigenschaft.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Zu jedem
\mathl{f \in R}{} sei \maabbeledisp {\mu_f} {R} {R } {g} {fg } {,} die Multiplikation mit $f$. Zeige, dass $\mu_f$ genau dann bijektiv ist, wenn es surjektiv ist.

Man zeige durch ein Beispiel, dass in dieser Situation aus der Injektivität nicht die Bijektivität folgt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung \maabbeledisp {\mu_f} {R} {R } {g} {fg } {,} wann $f$ ein \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} und wann $f$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Z }
{ \subseteq }{\Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{,} aber kein \definitionsverweis {Ideal}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} genau dann ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist, wenn er genau zwei \definitionsverweis {Ideale}{}{} enthält.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei $f_j$,
\mathl{j \in J}{,} eine Familie von Elementen in $R$. Es sei angenommen, dass die $f_j$ zusammen das \definitionsverweis {Einheitsideal}{}{} erzeugen. Zeige, dass es eine endliche Teilfamilie $f_j$,
\mathl{j \in J_0 \subseteq J}{} gibt, die ebenfalls das Einheitsideal erzeugt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathdisp {{\mathfrak a}_1 \subseteq {\mathfrak a}_2 \subseteq {\mathfrak a}_3 \subseteq \ldots} { }
eine aufsteigende Kette von \definitionsverweis {Idealen}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
\mathl{\bigcup_{n \in \N} {\mathfrak a}_n}{} ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und
\mathbed {p \in R} {}
{p \neq 0} {}
{} {} {} {.} Zeige, dass $p$ genau dann \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist, wenn es genau zwei \definitionsverweis {Hauptideale}{}{} oberhalb von
\mathl{(p)}{} gibt, nämlich
\mathl{(p)}{} selbst und
\mathl{(1)=R}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass im \definitionsverweis {Polynomring}{}{} $K[X]$ über einem Körper $K$ die Variable $X$ \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} und \definitionsverweis {prim}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X]}{,} wobei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} sei, die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} und die \definitionsverweis {Assoziiertheit}{}{.} Gibt es in den Assoziiertheitsklassen besonders schöne Vertreter?

}
{} {}





\inputaufgabe
{}
{

Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^{u}+1 }
{ =} {(X+1) { \left( X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}- \cdots + X^2 - X +1 \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für $u$ ungerade.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass ein Polynom vom \definitionsverweis {Grad}{}{} zwei oder drei genau dann \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist, wenn es keine Nullstelle in $K$ besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms $X^6-1$ über den \definitionsverweis {Körpern}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{\Q, \R, {\mathbb C}, \Z/(7) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mathl{\Z/(5)}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man wende eine Form des Eisensteinkriteriums an, um die \definitionsverweis {Irreduzibilität}{}{} der folgenden Polynome aus $\Q[X]$ nachzuweisen. \aufzaehlungdrei{ $X^4+2X^2+2$, }{ $20X^5-15X^4+125X^3-10X+4$, }{ $X^4+9$. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{F_2 [X]}{} alle \definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $2,3,4$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{F_3 [X]}{} alle \definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $3$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{F \in \Q[X]}{} ein \definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{} vom Grad $3$. Zeige, dass $F$ entweder eine oder drei reelle Nullstellen besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad nicht irreduzibel ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass das Polynom
\mathdisp {X^3-3X+1} { }
über $\Q$ \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass das Polynom
\mathdisp {X^3-3X-1} { }
über $\Q$ \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{F \in K[X]}{} ein von $0$ verschiedenes Polynom. Zeige, dass es eine \zusatzklammer {bis auf die Reihenfolge der Faktoren} {} {} eindeutige Produktdarstellung
\mathdisp {F = a F_1 \cdots F_r} { }
mit
\mathl{a \in K^{\times}}{} und \definitionsverweis {irreduziblen}{}{} \definitionsverweis {normierten}{}{} Polynomen
\mathbed {F_i} {}
{i=1 , \ldots , r} {}
{} {} {} {,} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$ und sei $P \in K[X]$ ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei $T$ ein \definitionsverweis {Teiler}{}{} von $P$. Zeige, dass $T$ ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors
\mathl{X-a}{} in $T$ durch seine Vielfachheit in $P$ beschränkt ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

\aufzaehlungdrei{Es sei $F$ ein normiertes Polynom aus $\Z[X]$ und es gebe eine Primzahl $q$ mit der Eigenschaft, dass $F$ modulo $q$, also aufgefasst in $\Z/(q) [X]$, \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} sei. Zeige, dass dann schon $F$ irreduzibel ist. }{Zeige, dass die erste Aussage für ein nichtnormiertes Polynom nicht stimmen muss. }{Es sei $p$ eine Primzahl und $G \in \Z/(p) [X]$ ein normiertes Polynom. Zeige, dass es ein normiertes Polynom
\mathl{F\in \Z[X]}{} gibt, das modulo $p$ mit $G$ übereinstimmt und das zusätzlich irreduzibel ist. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass $\Z[X]$ und der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} in zwei Variablen
\mathl{K[X,Y]}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ keine \definitionsverweis {Hauptidealbereiche}{}{} sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in $\Z[X]$ die \definitionsverweis {Ideale}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathfrak a} }
{ = }{ { \left( X^6+X^3+1, 6X^5+3X^2 \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathfrak b} }
{ = }{ { \left( X^6+X^3+1, 3X^3-3 ,9 \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} übereinstimmen. Bestimme die Anzahl der Elemente im \definitionsverweis {Restklassenring}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathl{p \in R}{} ein \definitionsverweis {Primelement}{}{.} Zeige, dass $p$ auch im Polynomring
\mathl{R[X]}{} prim ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{.} Bestimme in
\mathl{K[X]}{} die \definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass es unendlich viele normierte \definitionsverweis {irreduzible}{}{} Polynome in
\mathl{K[X]}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ \R[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {nichtkonstantes}{}{} \definitionsverweis {Polynom}{}{} mit \definitionsverweis {reellen}{}{} Koeffizienten. Zeige, dass man $P$ als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad \mathkor {} {1} {oder} {2} {} schreiben kann.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und es sei
\mathl{a \in L}{.} Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung \maabbeledisp {\psi} {K[X]} {L } {P} {P(a) } {,} folgende Eigenschaften erfüllt \zusatzklammer {dabei seien \mathlk{P,Q \in K[X]}{}} {} {.} \aufzaehlungdrei{
\mathl{(P + Q)(a)=P(a) +Q(a)}{,} }{
\mathl{(P \cdot Q)(a)=P(a) \cdot Q(a)}{,} }{
\mathl{1(a)=1}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} \maabb {\varphi} {V} {V } {} ein \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} auf einem endlichdimensionalen $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbeledisp {} {K[X]} { \operatorname{End}_{ } { \left( V \right) } } {P} {P(\varphi) } {,} der zugehörige Einsetzungshomomorphismus. Vergleiche diese Situation mit dem durch ein Element
\mathl{a \in L}{} zu einer \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegebenen Einsetzungshomomorphismus
\mathl{P \mapsto P(a)}{.}

}
{} {}

Die folgenden Aufgaben benutzen das Produkt von Idealen.


Zu zwei \definitionsverweis {Idealen}{}{} ${\mathfrak a}$ und ${\mathfrak b}$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} wird das \definitionswort {Produkt}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}{\mathfrak b} }
{ =} { \{a_1b_1 +a_2b_2 + \cdots + a_kb_k\} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{a_i \in {\mathfrak a}}{,}
\mathl{b_i \in {\mathfrak b}}{} definiert. Das ist das Ideal, das von allen Produkten $ab$ \zusatzklammer {mit
\mathl{a \in {\mathfrak a}}{,}
\mathl{b \in {\mathfrak b}}{}} {} {} erzeugt wird.


Für das $n$-fache Produkt eines Ideals ${\mathfrak a}$ mit sich selbst schreibt man ${\mathfrak a}^n$.


\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das \definitionsverweis {Produkt}{}{} von \definitionsverweis {Hauptidealen}{}{} wieder ein Hauptideal ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}, {\mathfrak b} }
{ \subseteq }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {Ideale}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$. Zeige, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} \cdot {\mathfrak b} }
{ \subseteq} { {\mathfrak a} \cap {\mathfrak b} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Potenzen}{}{}
\mathl{{\mathfrak a}^n,\, n \in \N_+}{,} alle dasselbe \definitionsverweis {Radikal}{}{} besitzen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {I} {und} {J} {} \definitionsverweis {Ideale}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ und sei
\mathl{n \in \N}{.} Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(I+J)^n }
{ =} { I^n + I^{n-1}J+ I^{n-2}J^2 + \cdots + I^2J^{n-2} + IJ^{n-1} +J^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}