Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 2

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Übungsaufgaben


Zwei Elemente und eines kommutativen Ringes heißen assoziiert, wenn es eine Einheit derart gibt, dass ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Assoziiertheit in einem kommutativen Ring eine Äquivalenzrelation ist.


Aufgabe

Beweise die folgenden Eigenschaften zur Teilbarkeit in einem kommutativen Ring :

  1. Für jedes Element gilt und .
  2. Für jedes Element gilt .
  3. Gilt und , so gilt auch .
  4. Gilt und , so gilt auch .
  5. Gilt , so gilt auch für jedes .
  6. Gilt und , so gilt auch für beliebige Elemente .


Aufgabe

Zeige, dass in einem kommutativen Ring folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten.

  1. Sind und assoziiert, so gilt genau dann, wenn .
  2. Ist ein Integritätsbereich, so gilt hiervon auch die Umkehrung.


Aufgabe

Zeige, dass in einem kommutativen Ring folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten.

  1. ist eine Einheit, die zu sich selbst invers ist.
  2. Jede Einheit teilt jedes Element.
  3. Sind und assoziiert, so gilt genau dann, wenn .
  4. Teilt eine Einheit, so ist selbst eine Einheit.


Aufgabe

Zeige, dass ein Unterring eines Körpers ein Integritätsbereich ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und seien Nichtnullteiler in . Zeige, dass das Produkt ebenfalls ein Nichtnullteiler ist.


Aufgabe *

Was bedeutet die Eigenschaft, dass man in einem Integritätsbereich „kürzen“ kann? Beweise diese Eigenschaft.


Aufgabe *

Es sei ein kommutativer Ring. Zu jedem sei

die Multiplikation mit . Zeige, dass genau dann bijektiv ist, wenn es surjektiv ist.

Man zeige durch ein Beispiel, dass in dieser Situation aus der Injektivität nicht die Bijektivität folgt.


Aufgabe *

Es sei ein kommutativer Ring und . Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung

wann ein Nichtnullteiler und wann eine Einheit ist.


Aufgabe

Zeige, dass eine Untergruppe, aber kein Ideal ist.


Aufgabe *

Zeige, dass ein kommutativer Ring genau dann ein Körper ist, wenn er genau zwei Ideale enthält.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei , , eine Familie von Elementen in . Es sei angenommen, dass die zusammen das Einheitsideal erzeugen. Zeige, dass es eine endliche Teilfamilie , gibt, die ebenfalls das Einheitsideal erzeugt.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei

eine aufsteigende Kette von Idealen. Zeige, dass die Vereinigung ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.


Aufgabe

Sei ein Integritätsbereich und , . Zeige, dass genau dann irreduzibel ist, wenn es genau zwei Hauptideale oberhalb von gibt, nämlich selbst und .


Aufgabe

Zeige, dass im Polynomring über einem Körper die Variable irreduzibel und prim ist.


Aufgabe

Bestimme im Polynomring , wobei ein Körper sei, die Einheiten und die Assoziiertheit. Gibt es in den Assoziiertheitsklassen besonders schöne Vertreter?


Aufgabe

Beweise die Formel

für ungerade.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass ein Polynom vom Grad zwei oder drei genau dann irreduzibel ist, wenn es keine Nullstelle in besitzt.


Aufgabe *

Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms über den Körpern und .


Aufgabe

Man wende eine Form des Eisensteinkriteriums an, um die Irreduzibilität der folgenden Polynome aus nachzuweisen.

  1. ,
  2. ,
  3. .


Aufgabe

Bestimme im Polynomring alle irreduziblen Polynome vom Grad .


Aufgabe

Bestimme im Polynomring alle normierten irreduziblen Polynome vom Grad .


Aufgabe

Es sei ein irreduzibles Polynom vom Grad . Zeige, dass entweder eine oder drei reelle Nullstellen besitzt.


Aufgabe

Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad nicht irreduzibel ist.


Aufgabe *

Zeige, dass das Polynom

über irreduzibel ist.


Aufgabe *

Zeige, dass das Polynom

über irreduzibel ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei ein von verschiedenes Polynom. Zeige, dass es eine (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutige Produktdarstellung

mit und irreduziblen normierten Polynomen , , gibt.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über und sei ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei ein Teiler von . Zeige, dass ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors in durch seine Vielfachheit in beschränkt ist.


Aufgabe *

  1. Es sei ein normiertes Polynom aus und es gebe eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass modulo , also aufgefasst in , irreduzibel sei. Zeige, dass dann schon irreduzibel ist.
  2. Zeige, dass die erste Aussage für ein nichtnormiertes Polynom nicht stimmen muss.
  3. Es sei eine Primzahl und ein normiertes Polynom. Zeige, dass es ein normiertes Polynom gibt, das modulo mit übereinstimmt und das zusätzlich irreduzibel ist.


Aufgabe

Zeige, dass und der Polynomring in zwei Variablen über einem Körper keine Hauptidealbereiche sind.


Aufgabe

Zeige, dass in die Ideale und übereinstimmen. Bestimme die Anzahl der Elemente im Restklassenring.


Aufgabe *

Es sei ein kommutativer Ring und sei ein Primelement. Zeige, dass auch im Polynomring prim ist.


Aufgabe

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Bestimme in die irreduziblen Polynome.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass es unendlich viele normierte irreduzible Polynome in gibt.


Aufgabe

Es sei ein nichtkonstantes Polynom mit reellen Koeffizienten. Zeige, dass man als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad oder schreiben kann.


Aufgabe

Es sei eine Körpererweiterung und es sei . Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien ).

  1. ,
  2. ,
  3. .


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum und

der zugehörige Einsetzungshomomorphismus. Vergleiche diese Situation mit dem durch ein Element zu einer Körpererweiterung gegebenen Einsetzungshomomorphismus .


Die folgenden Aufgaben benutzen das Produkt von Idealen.


Zu zwei Idealen und in einem kommutativen Ring wird das Produkt durch

mit , definiert. Das ist das Ideal, das von allen Produkten (mit , ) erzeugt wird.


Für das -fache Produkt eines Ideals mit sich selbst schreibt man .

Aufgabe

Zeige, dass das Produkt von Hauptidealen wieder ein Hauptideal ist.


Aufgabe

Es seien Ideale in einem kommutativen Ring . Zeige, dass die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Es sei ein Ideal in einem kommutativen Ring . Zeige, dass die Potenzen , alle dasselbe Radikal besitzen.


Aufgabe *

Es seien und Ideale in einem kommutativen Ring und sei . Zeige die Gleichheit





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