Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 20/latex
\setcounter{section}{20}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Erweiterung}{}{}
von
\definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{,}
sei ${\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
von $R$ und ${\mathfrak q}$ ein Primideal von $S$ über ${\mathfrak p}$. Zeige, dass eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
der
\definitionsverweis {Restekörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \kappa ( {\mathfrak p} )
}
{ \subseteq }{\kappa ( {\mathfrak q} )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass bei einem \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{} jedes numerisch mögliche Zerlegungsverhalten im Sinne der fundamentalen Gleichung auch auftritt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {separable Körpererweiterung}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K[X]
}
{ \subseteq }{L[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die zugehörige endliche Erweiterung der
\definitionsverweis {Polynomringe}{}{}
in einer Variablen. Beweise
die fundamentale Gleichung
in diesem Fall.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für den
\definitionsverweis {kubischen Zahlbereich}{}{}
\mathl{\Z[\sqrt[3]{2}]}{,} welche der numerisch möglichen Zerlegungsverhalten im Sinne der
fundamentalen Gleichung
wirklich auftreten.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das Zerlegungsverhalten von Primzahlen in dem durch die
\definitionsverweis {biquadratische Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q
}
{ \subseteq }{ \Q[\sqrt{3}, \sqrt{5} ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebenen
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}
}
{} {}