Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 20

Aufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R\subseteq S$ eine endliche Erweiterung von kommutativen Ringen, sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal von ${}R$ und ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal von ${}S$ über ${}{\mathfrak {p}}$. Zeige, dass eine endliche Körpererweiterung der Restekörper ${}\kappa ({\mathfrak {p}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}})$ vorliegt.

Aufgabe

Zeige, dass bei einem quadratischen Zahlbereich jedes numerisch mögliche Zerlegungsverhalten im Sinne der fundamentalen Gleichung auch auftritt.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche separable Körpererweiterung und sei ${}K[X]\subseteq L[X]$ die zugehörige endliche Erweiterung der Polynomringe in einer Variablen. Beweise die fundamentale Gleichung in diesem Fall.

Aufgabe

Bestimme für den kubischen Zahlbereich ${}\mathbb {Z} [{\sqrt[{3}]{2}}]$, welche der numerisch möglichen Zerlegungsverhalten im Sinne der fundamentalen Gleichung wirklich auftreten.

Aufgabe

Bestimme das Zerlegungsverhalten von Primzahlen in dem durch die biquadratische Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {3}},{\sqrt {5}}]$ gegebenen Zahlbereich.