Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 27/latex

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\zwischenueberschrift{Aufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{f \in R}{} ein \definitionsverweis {nilpotentes Element}{}{.} Zeige, dass $1+f$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

a) Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von $K$ nicht zyklisch unendlich ist.

b) Es sei $R$ ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei ist. Zeige, dass die Einheitengruppe von $R$ nicht zyklisch unendlich ist.

c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die zweiten \definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{} in $\Z/(105)$.

}
{} {}


Zu einer \definitionsverweis {kommutativen Gruppe}{}{} $G$ nennt man
\mathl{{ \left\{ g \in G \mid g \text{ hat endliche Ordnung} \right\} }}{} die \definitionswort {Torsionsuntergruppe}{} von $G$.


Eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} $G$ heißt \definitionswort {torsionsfrei}{,} wenn für jedes Element
\mathbed {x \in G} {}
{x \neq 0} {}
{} {} {} {,} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{nx }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}





\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Torsionsuntergruppe}{}{} einer \definitionsverweis {kommutativen Gruppe}{}{} $G$ in der Tat eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Torsionsuntergruppe}{}{} einer \definitionsverweis {kommutativen Gruppe}{}{} $G$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{G/T}{} \definitionsverweis {torsionsfrei}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{} in $R$ die \definitionsverweis {Torsionsuntergruppe}{}{} der \definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass es in der \definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{\Q/\Z}{} zu jedem
\mathl{n \in \N_+}{} Elemente gibt, deren \definitionsverweis {Ordnung}{}{} gleich $n$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{} $\Q/\Z$ unendlich ist und jedes Element eine endliche \definitionsverweis {Ordnung}{}{} besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1_\Q }
{ =} { { \left\{ z \in \Q[ { \mathrm i} ] \mid \betrag { z } = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der Multiplikation in
\mathl{\Q[ { \mathrm i} ]}{} eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1_\Q }
{ =} { { \left\{ z \in \Q[ { \mathrm i} ] \mid \betrag { z } = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der rationale Einheitskreis mit der aus
\mathl{\Q[ { \mathrm i} ]^{\times}}{} ererbten Gruppenstruktur. Berechne die ersten vier Potenzen von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 3 }{ 5 } } + { \frac{ 4 }{ 5 } } { \mathrm i} }
{ \in }{S^1_\Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1_\Q }
{ =} { { \left\{ z \in \Q[ { \mathrm i} ] \mid \betrag { z } = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der rationale Einheitskreis mit der aus
\mathl{\Q[ { \mathrm i} ]^{\times}}{} ererbten Gruppenstruktur. Zeige, dass die Gruppen
\mathl{ S^1_\Q}{} und
\mathl{\Q/\Z}{} nicht \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme für den siebten \definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_7 }
{ = }{ \Z[X]/ { \left( X^6+X^5+X^4+X^3+X^2 +X+1 \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y }
{ = }{X+X^{-1} }
{ = }{ X+X^6 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Ist $Y$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{?}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für den neunten \definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R_9 }
{ = }{ \Z[X]/ { \left( \Phi_{9} \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y }
{ = }{X+X^{-1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Ist $Y$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{?}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme für den elften \definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_{11} }
{ = }{ \Z[X]/ { \left( \Phi_{11} \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y }
{ = }{X+X^{-1} }
{ = }{ X+X^{10} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Ist $Y$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{?}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die \definitionsverweis {Kreisteilungsringe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_n }
{ = }{ \Z[X]/ { \left( \Phi_{n} \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{1,2 , \ldots , 12 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} ob das Element $X+X^{-1}$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist oder nicht.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} im Ring $\Z[ \sqrt{-3}]$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und sei
\mathl{\mu_n(L)}{} \zusatzklammer {zu \mathlk{n \in \N_+}{}} {} {} die Gruppe der $n$-ten \definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{} in $L$. Zeige, dass es zu jedem $n$ einen \definitionsverweis {natürlichen}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K ) } { \operatorname{Aut} \, (\mu_n(L)) } {} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine endliche \definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{} und sei $H$ der \definitionsverweis {Kern}{}{} des \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} { \operatorname{Gal}\, ( K {{|}} \Q ) } { \operatorname{Aut} ( \mu_{ } { \left( K \right) } ) } {\sigma} { (\zeta \mapsto \sigma (\zeta) ) } {,} aus Lemma 27.8. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K^H }
{ = }{ K_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei $n$ die Anzahl der Einheitswurzeln in $K$ bezeichnet.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine endliche \definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass der \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} { \operatorname{Gal}\, ( K {{|}} \Q ) } { \operatorname{Aut} ( \mu_{ } { \left( K \right) } ) } {\sigma} { (\zeta \mapsto \sigma (\zeta) ) } {,} aus Lemma 27.8 nicht \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {endlichen Körpererweiterungen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq} {\Q[ { \mathrm i} ] }
{ \subseteq} {\Q[ { \mathrm i} , \sqrt[3]{1 +{ \mathrm i} } ] }
{ =} {K }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} { \operatorname{Gal}\, ( K {{|}} \Q ) } { \operatorname{Aut} ( \mu_{ } { \left( K \right) } ) } {\sigma} { (\zeta \mapsto \sigma (\zeta) ) } {,} aus Lemma 27.8 nicht \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und $R$ der zugehörige \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.} Zeige, dass es einen \definitionsverweis {natürlichen}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { \operatorname{Gal}\, ( K {{|}} \Q ) } { \operatorname{Aut} \, ( R^{\times} ) } {} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und $R$ der zugehörige \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.} Zeige, dass es \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{}
\mathdisp {\operatorname{Gal}\, ( K {{|}} \Q ) \longrightarrow \operatorname{Aut} \, ( R^{\times} ) \longrightarrow \operatorname{Aut} ( \mu_{ } { \left( K \right) } )} { }
derart gibt, dass die Gesamtabbildung der Homomorphismus aus Lemma 27.8 ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Galoiserweiterung}{}{} mit zugehörigem \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} $R$. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{Die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} bilden ein \definitionsverweis {Algebraerzeugendensystem}{}{} von $R$ über $\Z$. }{Für jeden Zahlbereich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ \subset }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist die \definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{} $S^{\times}$ eine echte Teilmenge von $R^{\times}$. }{Die Wirkung der \definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{} auf
\mathl{R^{\times}}{} ist \definitionsverweis {treu}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel von zwei \definitionsverweis {Zahlbereichen}{}{} \mathkor {} {R} {und} {S} {,} die als Ringe nicht \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind, aber die Eigenschaft haben, dass sowohl die additiven Strukturen \mathkor {} {(R,+,0)} {und} {(S,+,0)} {} als Gruppen \definitionsverweis {isomorph}{}{} als auch die multiplikativen Strukturen \mathkor {} {(R, \cdot,1)} {und} {(S, \cdot,1)} {} als Monoide isomorph sind.

}
{} {}