Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 27

Aufgaben

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}f\in R$  ein nilpotentes Element. Zeige, dass ${}1+f$ eine Einheit ist.

Aufgabe *

a) Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von ${}K$ nicht zyklisch unendlich ist.

b) Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei sei. Zeige, dass die Einheitengruppe von ${}R$ nicht zyklisch unendlich ist.

c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.

Aufgabe

Bestimme die zweiten Einheitswurzeln in ${}\mathbb {Z} /(105)$.

Zu einer kommutativen Gruppe ${}G$ nennt man ${}{\left\{g\in G\mid g{\text{ hat endliche Ordnung}}\right\}}$ die Torsionsuntergruppe von ${}G$.

Eine kommutative Gruppe ${}G$ heißt torsionsfrei, wenn für jedes Element ${}x\in G$, ${}x\neq 0$, und  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$  gilt  ${}nx\neq 0$. 

Aufgabe

Zeige, dass die Torsionsuntergruppe einer kommutativen Gruppe ${}G$ in der Tat eine Untergruppe ist.

Aufgabe

Es sei  ${}T\subseteq G$  die Torsionsuntergruppe einer kommutativen Gruppe ${}G$. Zeige, dass die Restklassengruppe ${}G/T$ torsionsfrei ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Einheitswurzeln in ${}R$ die Torsionsuntergruppe der Einheitengruppe ist.

Aufgabe *

Zeige, dass es in der Restklassengruppe ${}\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ zu jedem  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$  Elemente gibt, deren Ordnung gleich ${}n$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Restklassengruppe ${}\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ unendlich ist und jedes Element eine endliche Ordnung besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge

${}S_{\mathbb {Q} }^{1}={\left\{z\in \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\mid \vert {z}\vert =1\right\}}\,$

mit der Multiplikation in ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ eine kommutative Gruppe ist.

Aufgabe

Es sei

${}S_{\mathbb {Q} }^{1}={\left\{z\in \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\mid \vert {z}\vert =1\right\}}\,$

der rationale Einheitskreis mit der aus ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }$ ererbten Gruppenstruktur. Berechne die ersten vier Potenzen von  ${}{\frac {3}{5}}+{\frac {4}{5}}{\mathrm {i} }\in S_{\mathbb {Q} }^{1}$. 

Aufgabe

Es sei

${}S_{\mathbb {Q} }^{1}={\left\{z\in \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\mid \vert {z}\vert =1\right\}}\,$

der rationale Einheitskreis mit der aus ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }$ ererbten Gruppenstruktur. Zeige, dass die Gruppen ${}S_{\mathbb {Q} }^{1}$ und ${}\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ nicht isomorph sind.

Aufgabe *

Bestimme für den siebten Kreisteilungsring  ${}R_{7}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{6}+X^{5}+X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1\right)}$ 

das Minimalpolynom für  ${}Y=X+X^{-1}=X+X^{6}$.  Ist ${}Y$ eine Einheit?

Aufgabe

Bestimme für den neunten Kreisteilungsring  ${}R_{9}=\mathbb {Z} [X]/{\left(\Phi _{9}\right)}$ 

das Minimalpolynom für  ${}Y=X+X^{-1}$.  Ist ${}Y$ eine Einheit?

Aufgabe *

Bestimme für den elften Kreisteilungsring  ${}R_{11}=\mathbb {Z} [X]/{\left(\Phi _{11}\right)}$  das Minimalpolynom für  ${}Y=X+X^{-1}=X+X^{10}$.  Ist ${}Y$ eine Einheit?

Aufgabe

Bestimme für die Kreisteilungsringe  ${}R_{n}=\mathbb {Z} [X]/{\left(\Phi _{n}\right)}$  mit  ${}n=1,2,\ldots ,12$,  ob das Element ${}X+X^{-1}$ eine Einheit ist oder nicht.

Aufgabe

Bestimme die Einheiten im Ring ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]$.

Aufgabe

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung und sei ${}\mu _{n}(L)$ (zu $n\in \mathbb {N} _{+}$) die Gruppe der ${}n$-ten Einheitswurzeln in ${}L$. Zeige, dass es zu jedem ${}n$ einen natürlichen Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\longrightarrow \operatorname {Aut} \,(\mu _{n}(L))$

gibt.

Aufgabe

Es sei  ${}\mathbb {Q} \subseteq K$  eine endliche Galoiserweiterung und sei ${}H$ der Kern des Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {Gal} \,(K{|}\mathbb {Q} )\longrightarrow \operatorname {Aut} (\mu _{}{\left(K\right)}),\,\sigma \longmapsto (\zeta \mapsto \sigma (\zeta )),$

aus Lemma 27.8. Zeige  ${}K^{H}=K_{n}$,  wobei ${}n$ die Anzahl der Einheitswurzeln in ${}K$ bezeichnet.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine endliche Galoiserweiterung  ${}\mathbb {Q} \subseteq K$  derart, dass der Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {Gal} \,(K{|}\mathbb {Q} )\longrightarrow \operatorname {Aut} (\mu _{}{\left(K\right)}),\,\sigma \longmapsto (\zeta \mapsto \sigma (\zeta )),$

aus Lemma 27.8 nicht injektiv ist.

Aufgabe

Betrachte die endlichen Körpererweiterungen

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\subseteq \mathbb {Q} [{\mathrm {i} },{\sqrt[{3}]{1+{\mathrm {i} }}}]=K\,.$

Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {Gal} \,(K{|}\mathbb {Q} )\longrightarrow \operatorname {Aut} (\mu _{}{\left(K\right)}),\,\sigma \longmapsto (\zeta \mapsto \sigma (\zeta )),$

aus Lemma 27.8 nicht surjektiv ist.

Aufgabe

Es sei  ${}\mathbb {Q} \subseteq K$  eine endliche Körpererweiterung und ${}R$ der zugehörige Zahlbereich. Zeige, dass es einen natürlichen Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {Gal} \,(K{|}\mathbb {Q} )\longrightarrow \operatorname {Aut} \,(R^{\times })$

gibt.

Aufgabe

Es sei  ${}\mathbb {Q} \subseteq K$  eine endliche Körpererweiterung und ${}R$ der zugehörige Zahlbereich. Zeige, dass es Gruppenhomomorphismen

$\operatorname {Gal} \,(K{|}\mathbb {Q} )\longrightarrow \operatorname {Aut} \,(R^{\times })\longrightarrow \operatorname {Aut} (\mu _{}{\left(K\right)})$

derart gibt, dass die Gesamtabbildung der Homomorphismus aus Lemma 27.8 ist.

Aufgabe

Es sei  ${}\mathbb {Q} \subseteq K$  eine endliche Galoiserweiterung mit zugehörigem Zahlbereich ${}R$. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. Die Einheiten bilden ein Algebraerzeugendensystem von ${}R$ über ${}\mathbb {Z}$.
2. Für jeden Zahlbereich  ${}S\subset R$  ist die Einheitengruppe ${}S^{\times }$ eine echte Teilmenge von ${}R^{\times }$.
3. Die Wirkung der Galoisgruppe auf ${}R^{\times }$ ist treu.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel von zwei Zahlbereichen ${}R$ und ${}S$, die als Ringe nicht isomorph sind, aber die Eigenschaft haben, dass sowohl die additiven Strukturen ${}(R,+,0)$ und ${}(S,+,0)$ als Gruppen isomorph als auch die multiplikativen Strukturen ${}(R,\cdot ,1)$ und ${}(S,\cdot ,1)$ als Monoide isomorph sind.