Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 27

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Aufgaben

Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und ein nilpotentes Element. Zeige, dass eine Einheit ist.


Aufgabe

a) Es sei ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von nicht zyklisch unendlich ist.

b) Es sei ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei ist. Zeige, dass die Einheitengruppe von nicht zyklisch unendlich ist.

c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.


Aufgabe

Bestimme die zweiten Einheitswurzeln in .


Zu einer kommutativen Gruppe nennt man die Torsionsuntergruppe von .


Eine kommutative Gruppe heißt torsionsfrei, wenn für jedes Element , , und gilt .


Aufgabe

Zeige, dass die Torsionsuntergruppe einer kommutativen Gruppe in der Tat eine Untergruppe ist.


Aufgabe

Es sei die Torsionsuntergruppe einer kommutativen Gruppe . Zeige, dass die Restklassengruppe torsionsfrei ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Einheitswurzeln in die Torsionsuntergruppe der Einheitengruppe ist.


Aufgabe *

Zeige, dass es in der Restklassengruppe zu jedem Elemente gibt, deren Ordnung gleich ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Restklassengruppe unendlich ist und jedes Element eine endliche Ordnung besitzt.


Aufgabe

Zeige, dass die Menge

mit der Multiplikation in eine kommutative Gruppe ist.


Aufgabe

Es sei

der rationale Einheitskreis mit der aus ererbten Gruppenstruktur. Berechne die ersten vier Potenzen von .


Aufgabe

Es sei

der rationale Einheitskreis mit der aus ererbten Gruppenstruktur. Zeige, dass die Gruppen und nicht isomorph sind.


Aufgabe *

Bestimme für den siebten Kreisteilungsring das Minimalpolynom für . Ist eine Einheit?


Aufgabe

Bestimme für den neunten Kreisteilungsring das Minimalpolynom für . Ist eine Einheit?


Aufgabe *

Bestimme für den elften Kreisteilungsring das Minimalpolynom für . Ist eine Einheit?


Aufgabe

Bestimme für die Kreisteilungsringe mit , ob das Element eine Einheit ist oder nicht.


Aufgabe

Bestimme die Einheiten im Ring .


Aufgabe

Es sei eine endliche Körpererweiterung und sei (zu ) die Gruppe der -ten Einheitswurzeln in . Zeige, dass es zu jedem einen natürlichen Gruppenhomomorphismus

gibt.


Aufgabe

Es sei eine endliche Galoiserweiterung und sei der Kern des Gruppenhomomorphismus

aus Lemma 27.8. Zeige , wobei die Anzahl der Einheitswurzeln in bezeichnet.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine endliche Galoiserweiterung derart, dass der Gruppenhomomorphismus

aus Lemma 27.8 nicht injektiv ist.


Aufgabe

Betrachte die endlichen Körpererweiterungen

Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus

aus Lemma 27.8 nicht surjektiv ist.


Aufgabe

Es sei eine endliche Körpererweiterung und der zugehörige Zahlbereich. Zeige, dass es einen natürlichen Gruppenhomomorphismus

gibt.


Aufgabe

Es sei eine endliche Körpererweiterung und der zugehörige Zahlbereich. Zeige, dass es Gruppenhomomorphismen

derart gibt, dass die Gesamtabbildung der Homomorphismus aus Lemma 27.8 ist.


Aufgabe

Es sei eine endliche Galoiserweiterung mit zugehörigem Zahlbereich . Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. Die Einheiten bilden ein Algebraerzeugendensystem von über .
  2. Für jeden Zahlbereich ist die Einheitengruppe eine echte Teilmenge von .
  3. Die Wirkung der Galoisgruppe auf ist treu.


Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel von zwei Zahlbereichen und , die als Ringe nicht isomorph sind, aber die Eigenschaft haben, dass sowohl die additiven Strukturen und als Gruppen isomorph als auch die multiplikativen Strukturen und als Monoide isomorph sind.



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