Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 3/latex
\setcounter{section}{3}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
Die folgenden Aufgaben betrachten Ringeigenschaften am Beispiel von Ringen von stetigen Funktionen.
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{C(\R,\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{}
von $\R$ nach $\R$. Zeige, dass $R$
\zusatzklammer {mit naheliegenden Verknüpfungen} {} {}
ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
ist. Handelt es sich um einen
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es im Ring der
\definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{C(\R,\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Nichtnullteiler gibt, die unendlich viele Nullstellen besitzen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{C(M,\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Ring der stetigen Funktion auf $M$. Zeige, dass zwei zueinander
\definitionsverweis {assoziierte}{}{}
Elemente
\mathl{f,g \in R}{} die gleiche Nullstellenmenge besitzen, und dass die Umkehrung nicht gelten muss.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass es stetige Funktionen
\maabbdisp {f,g} {\R_{\geq 0}} {\R
} {,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ fg
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
weder
\mathl{f {{|}}_{[0, \delta]}}{} noch
\mathl{g {{|}}_{[0, \delta]}}{} die Nullfunktion ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \mathkor {} {X} {und} {Y} {} \definitionsverweis {topologische Räume}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {X} {Y } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.} Zeige, dass dies einen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} { C(Y, \R)} {C(X, \R) } {f} { f\circ \varphi } {,} induziert.
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Brent method example.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Brent method example.png } {} {Jitse Niesen} {Commons} {gemeinfrei} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} {{\mathbb C}[X]} { {\mathbb C}
} {X} {a
} {,}
mit der
\definitionsverweis {Evaluationsabbildung}{}{}
\zusatzklammer {in den
\definitionsverweis {Restekörper}{}{}
\mathlk{{\mathbb C}[X]_{(X-a)}/ (X-a) {\mathbb C}[X]_{(X-a)}}{}} {} {}
zum
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
\mathl{(X-a)}{} übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathbed {f \in {\mathbb C}[X]} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,}
und
\mathl{a \in {\mathbb C}}{.} Zeige, dass die folgenden \anfuehrung{Ordnungen}{} von $f$ an der Stelle $a$ übereinstimmen.
\aufzaehlungdrei{Die Verschwindungsordnung von $f$ an der Stelle $a$, also die maximale Ordnung einer Ableitung mit
\mathl{f^{(k)}(a) =0}{.}
}{Der Exponent des Linearfaktors
\mathl{X-a}{} in der Zerlegung von $f$ in irreduzible Polynome.
}{Die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
von $f$ an der Lokalisierung
\mathl{{\mathbb C}[X]_{(X-a)}}{} von
\mathl{{\mathbb C}[X]}{} am maximalen Ideal
\mathl{(X-a)}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein fixiertes Element. Bestimme den
\definitionsverweis {Kern}{}{}
des
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} {K[X]} {K
} {X} {a
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein nicht-konstantes Polynom. Zeige, dass der durch $X \mapsto P$ definierte
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{}
von $K[X]$ nach $K[X]$ injektiv ist und dass der durch $P$ erzeugte Unterring
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K[P]
}
{ \subseteq }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zum Polynomring in einer Variablen ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$. Zeige, dass $I$ genau dann ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
ist, wenn der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
$R/I$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mathl{f \in R}{} sei nicht
\definitionsverweis {nilpotent}{}{.}
Zeige, dass es ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
${\mathfrak p}$ mit
\mathl{f \notin {\mathfrak p}}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \neq }{ p
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
keine
\definitionsverweis {Einheit}{}{.}
Dann ist $p$ genau dann ein Primelement, wenn das von $p$
\definitionsverweis {erzeugte Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (p)
}
{ \subset }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathbed {p \in R} {}
{p \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass $p$ genau dann ein
\definitionsverweis {Primelement}{}{} ist, wenn der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{R/(p)}{} ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein vom Nullring verschiedener \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige unter Verwendung des \definitionsverweis {Lemmas von Zorn}{}{,} dass es \definitionsverweis {maximale Ideale}{}{} in $R$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} ${\mathfrak m}$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mathl{{\mathfrak a}}{} ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S
}
{ =} { R/{\mathfrak a}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Ideale von $S$ eindeutig denjenigen Idealen von $R$ entsprechen, die ${\mathfrak a}$ umfassen.
}
{Zeige, dass das Gleiche für Primideale, Radikalideale und maximale Ideale gilt.} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme sämtliche \definitionsverweis {Primkörper}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Zeige, dass $R$ genau dann der
\definitionsverweis {Nullring}{}{}
ist, wenn sein
\definitionsverweis {Spektrum}{}{}
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( R \right) }}{} leer ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {Spektrum}{}{}
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( R \right) }}{} eines
\definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{}
$R$ in der Tat eine
\definitionsverweis {Topologie}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise Proposition 3.16.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere das \definitionsverweis {Spektrum}{}{} von $\Z/(p) [X]$ für verschiedene Primzahlen $p$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere das \definitionsverweis {Spektrum}{}{} von $\Z[X]$.
}
{} {}