Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 3

Übungsaufgaben

Die folgenden Aufgaben betrachten Ringeigenschaften am Beispiel von Ringen von stetigen Funktionen.

Aufgabe

Wir betrachten die Menge ${}R=C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ der stetigen Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$. Zeige, dass ${}R$ (mit naheliegenden Verknüpfungen) ein kommutativer Ring ist. Handelt es sich um einen Integritätsbereich?

Aufgabe

Zeige, dass es im Ring der stetigen Funktionen ${}R=C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ Nichtnullteiler gibt, die unendlich viele Nullstellen besitzen.

Aufgabe

Es sei ${}M$ ein metrischer Raum und ${}R=C(M,\mathbb {R} )$ der Ring der stetigen Funktion auf ${}M$. Zeige, dass zwei zueinander assoziierte Elemente ${}f,g\in R$ die gleiche Nullstellenmenge besitzen, und dass die Umkehrung nicht gelten muss.

Aufgabe *

Zeige, dass es stetige Funktionen

$f,g\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} ,$

mit ${}fg=0$ derart gibt, dass für alle ${}\delta >0$ weder ${}f{|}_{[0,\delta ]}$ noch ${}g{|}_{[0,\delta ]}$ die Nullfunktion ist.

Aufgabe

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume und

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

eine stetige Abbildung. Zeige, dass dies einen Ringhomomorphismus

$C(Y,\mathbb {R} )\longrightarrow C(X,\mathbb {R} ),\,f\longmapsto f\circ \varphi ,$

induziert.

Aufgabe

Zeige, dass zu ${}a\in {\mathbb {C} }$ der Einsetzungshomomorphismus

${\mathbb {C} }[X]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,X\longmapsto a,$

mit der Evaluationsabbildung (in den Restekörper ${\mathbb {C} }[X]_{(X-a)}/(X-a){\mathbb {C} }[X]_{(X-a)}$) zum Primideal ${}(X-a)$ übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}f\in {\mathbb {C} }[X]$, ${}f\neq 0$, und ${}a\in {\mathbb {C} }$. Zeige, dass die folgenden „Ordnungen“ von ${}f$ an der Stelle ${}a$ übereinstimmen.

1. Die Verschwindungsordnung von ${}f$ an der Stelle ${}a$, also die maximale Ordnung einer Ableitung mit ${}f^{(k)}(a)=0$.
2. Der Exponent des Linearfaktors ${}X-a$ in der Zerlegung von ${}f$ in irreduzible Polynome.
3. Die Ordnung von ${}f$ an der Lokalisierung ${}{\mathbb {C} }[X]_{(X-a)}$ von ${}{\mathbb {C} }[X]$ am maximalen Ideal ${}(X-a)$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}a\in K$ ein fixiertes Element. Bestimme den Kern des Einsetzungshomomorphismus

$K[X]\longrightarrow K,\,X\longmapsto a.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}P\in K[X]$ ein nicht-konstantes Polynom. Zeige, dass der durch ${}X\mapsto P$ definierte Einsetzungshomomorphismus von ${}K[X]$ nach ${}K[X]$ injektiv ist und dass der durch ${}P$ erzeugte Unterring ${}K[P]\subseteq K[X]$ isomorph zum Polynomring in einer Variablen ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}I\subseteq R$ ein Ideal in ${}R$. Zeige, dass ${}I$ genau dann ein maximales Ideal ist, wenn der Restklassenring ${}R/I$ ein Körper ist.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}f\in R$ sei nicht nilpotent. Zeige, dass es ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ mit ${}f\notin {\mathfrak {p}}$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und sei ${}0\neq p\in R$ keine Einheit. Dann ist ${}p$ genau dann ein Primelement, wenn das von ${}p$ erzeugte Ideal ${}(p)\subset R$ ein Primideal ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}p\in R$, ${}p\neq 0$. Zeige, dass ${}p$ genau dann ein Primelement ist, wenn der Restklassenring ${}R/(p)$ ein Integritätsbereich ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein vom Nullring verschiedener kommutativer Ring. Zeige unter Verwendung des Lemmas von Zorn, dass es maximale Ideale in ${}R$ gibt.

Aufgabe

Zeige, dass ein maximales Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ ein Primideal ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal mit dem Restklassenring

${}S=R/{\mathfrak {a}}\,.$

Zeige, dass die Ideale von ${}S$ eindeutig denjenigen Idealen von ${}R$ entsprechen, die ${}{\mathfrak {a}}$ umfassen.

Zeige, dass das Gleiche für Primideale, Radikalideale und maximale Ideale gilt.

Aufgabe

Bestimme sämtliche Primkörper.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass ${}R$ genau dann der Nullring ist, wenn sein Spektrum ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ leer ist.

Aufgabe *

Zeige, dass die Zariski-Topologie auf dem Spektrum ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eines kommutativen Ringes ${}R$ in der Tat eine Topologie ist.

Aufgabe *

Beweise Proposition 3.16.

Aufgabe

Skizziere das Spektrum von ${}\mathbb {Z} /(p)[X]$ für verschiedene Primzahlen ${}p$.

Aufgabe

Skizziere das Spektrum von ${}\mathbb {Z} [X]$.