Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 3

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Übungsaufgaben

Die folgenden Aufgaben betrachten Ringeigenschaften am Beispiel von Ringen von stetigen Funktionen.

Aufgabe

Wir betrachten die Menge der stetigen Funktionen von nach . Zeige, dass (mit naheliegenden Verknüpfungen) ein kommutativer Ring ist. Handelt es sich um einen Integritätsbereich?


Aufgabe

Zeige, dass es im Ring der stetigen Funktionen Nichtnullteiler gibt, die unendlich viele Nullstellen besitzen.


Aufgabe

Es sei ein metrischer Raum und der Ring der stetigen Funktion auf . Zeige, dass zwei zueinander assoziierte Elemente die gleiche Nullstellenmenge besitzen, und dass die Umkehrung nicht gelten muss.


Aufgabe *

Zeige, dass es stetige Funktionen

mit derart gibt, dass für alle weder noch die Nullfunktion ist.


Aufgabe

Es seien und topologische Räume und

eine stetige Abbildung. Zeige, dass dies einen Ringhomomorphismus

induziert.


Brent method example.png

Aufgabe

Zeige, dass zu der Einsetzungshomomorphismus

mit der Evaluationsabbildung (in den Restekörper ) zum Primideal übereinstimmt.


Aufgabe

Es sei , , und . Zeige, dass die folgenden „Ordnungen“ von an der Stelle übereinstimmen.

  1. Die Verschwindungsordnung von an der Stelle , also die maximale Ordnung einer Ableitung mit .
  2. Der Exponent des Linearfaktors in der Zerlegung von .
  3. Die Ordnung von an der Lokalisierung von am maximalen Ideal .


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein fixiertes Element. Bestimme den Kern des Einsetzungshomomorphismus


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein nicht-konstantes Polynom. Zeige, dass der durch definierte Einsetzungshomomorphismus von nach injektiv ist und dass der durch erzeugte Unterring isomorph zum Polynomring in einer Variablen ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in . Zeige, dass genau dann ein maximales Ideal ist, wenn der Restklassenring ein Körper ist.


Aufgabe *

Es sei ein kommutativer Ring und sei nicht nilpotent. Zeige, dass es ein Primideal mit gibt.


Aufgabe

Sei ein Integritätsbereich und sei keine Einheit. Dann ist genau dann ein Primelement, wenn das von erzeugte Ideal ein Primideal ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und , . Zeige, dass genau dann ein Primelement ist, wenn der Restklassenring ein Integritätsbereich ist.


Aufgabe

Sei ein vom Nullring verschiedener kommutativer Ring. Zeige unter Verwendung des Lemmas von Zorn, dass es maximale Ideale in gibt.


Aufgabe

Zeige, dass ein maximales Ideal in einem kommutativen Ring ein Primideal ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei ein Ideal mit dem Restklassenring . Zeige, dass die Ideale von eindeutig denjenigen Idealen von entsprechen, die umfassen.

Zeige, dass das Gleiche für Primideale, Radikalideale und maximale Ideale gilt.

Aufgabe

Bestimme sämtliche Primkörper.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass genau dann der Nullring ist, wenn sein Spektrum leer ist.


Aufgabe *

Zeige, dass die Zariski-Topologie auf dem Spektrum eines kommutativen Ringes in der Tat eine Topologie ist.


Aufgabe *

Beweise Proposition 3.16.


Aufgabe

Skizziere das Spektrum von für verschiedene Primzahlen .


Aufgabe

Skizziere das Spektrum von .



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