Kurs:Algorithmen und Datenstrukturen/Vorlesung/Definitionen zu Graphen

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen




Definitionen[Bearbeiten]

Hier werden allgemeine Definitionen bezüglich der Graphen behandelt. Dazu werden immer wieder Beispiele gebracht, die sich auf folgende Graphen beziehen. Dabei gilt je nach Beispiel G=(V,E) entweder für den ungerichteten oder den gerichteten Graphen.

Ungerichteter Graph Gerichteter graph


Adjazenz[Bearbeiten]

Ungerichteter Graph[Bearbeiten]

Zwei Knoten heißen adjazent, falls .

Hier heißt v auch Nachbar von w.

Beispiel:

  • Knoten 1 und 3 sind adjazent

Gerichteter Graph[Bearbeiten]

Zwei Knoten heißen adjazent, falls oder .

Für heißt w Nachfolger von v und v Vorgänger von w.

Beispiele:

  • Knoten 1 ist Vorgänger zu Knoten 3
  • Knoten 4 ist Nachfolger zu Knoten 6

Inzidenz[Bearbeiten]

Ungerichteter Graph[Bearbeiten]

Eine Kante ist inzident zu einem Knoten , falls oder .

Gerichteter Graph[Bearbeiten]

Eine Kante ist inzident zu einem Knoten , falls oder .

Grad[Bearbeiten]

Ungerichteter Graph[Bearbeiten]

Der Grad (engl. degree) eines Knotens ist die Anzahl seiner inzidenten Kanten, das heißt: .

Beispiel:

  • Der Grad von Knoten 4 ist 3

Gerichteter Graph[Bearbeiten]

Der Eingangsgrad (engl. in-degree) eines Knotens ist die Anzahl seiner Vorgänger: .

Der Ausgangsgrad (engl. out-degree) eines Knotens ist die Anzahl seiner Nachfolger: .

Beispiele:

  • Der Eingangsgrad von Knoten 3 ist 2
  • Der Ausgangsgrad von Knoten 3 ist 3

Weg[Bearbeiten]

Ungerichteter Graph[Bearbeiten]

Ein Weg W ist eine Sequenz von Knoten mit für die gilt:

Beispiel:

  • (1,3,5,6,3,4) ist ein Weg

Gerichteter Graph[Bearbeiten]

Ein (gerichteter) Weg W ist eine Sequenz von Knoten .

Beispiel:

  • (1,3,6,5,5,3,1) ist ein (gerichteter) Weg

Pfad[Bearbeiten]

Ein Weg W heißt Pfad, falls zusätzlich gilt . Das heißt, der Weg enthält keine doppelten Knoten. Diese Definition gilt sowohl für ungerichtete als auch gerichtete Graphen.

Beispiel:

  • (1,4,6,5) ist ein Pfad

Kreis[Bearbeiten]

Ein Weg P heißt Kreis, falls . Dazu ist ein Kreis K elementar, falls . Der Kreis enthält also keine doppelten Knoten bis auf den Anfangs- und den Endpunkt. Diese Definition gilt sowohl für ungerichtete als auch gerichtete Graphen.

Beispiel:

  • (1,3,4,6,3,4,1) ist ein Kreis
  • (3,4,6,3) ist ein elementarer Kreis

Länge[Bearbeiten]

Die Länge eines Weges ist die Anzahl der durchlaufenen Kanten. Die Länge eines Pfades ist also n-1. Diese Definition gilt sowohl für ungerichtete als auch gerichtete Graphen.

Beispiel:

  • Die Länge von (3,4,6,3,4,1) ist 4
  • Die Länge von (1,3,6) ist 2

Teilgraph[Bearbeiten]

Ungerichteter Graph[Bearbeiten]

Ein Graph heißt Teilgraph von G, falls .

Beispiel:

  • G'=({3,4,6},{{3,4},{4,6}}) ist ein Teilgraph von G

Gerichteter Graph[Bearbeiten]

Ein Graph heißt Teilgraph von G, falls und .

Beispiel:

  • ist ein Teilgraph von .

Erreichbarkeit[Bearbeiten]

Ungerichteter Graph[Bearbeiten]

Ein Knoten heißt erreichbar von einem Knoten , falls ein Weg existiert mit und .

Beispiele:

  • Knoten 6 ist erreichbar von Knoten 1
  • Knoten 7 ist nicht erreichbar von Knoten 1

Gerichteter Graph[Bearbeiten]

Ein Knoten heißt erreichbar von einem Knoten , falls ein Weg existiert mit und .

Beispiele:

  • Knoten 6 ist erreichbar von Knoten 1
  • Knoten 5 ist nicht erreichbar von Knoten 2

Zusammenhang[Bearbeiten]

Ungerichteter Graph[Bearbeiten]

G heißt (einfach) zusammenhängend, falls für alle gilt, dass w von v erreichbar ist

Ein Teilgraph von G heißt Zusammenhangskomponente von G, falls G' zusammenhängend ist und kein Teilgraph von G existert mit .

Beispiele:

  • G ist nicht zusammenhängend
  • Der Teilgraph ist eine Zusammenhangskomponente von G
  • Der Teilgraph ist eine Zusammenhangskomponente von G

Gerichteter Graph[Bearbeiten]

G heißt (stark) zusammenhängend, falls für alle gilt, dass w von v und v von w erreichbar ist.

Ein Teilgraph von G heißt starke Zusammenhangskomponente von G, falls stark zusammenhängend ist und kein Teilgraph von G existiert mit .

Beispiel:

  • Der Teilgraph mit und ist eine starke Zusammenhangskomponente von .


Vorheriges Thema.jpg Discussion Nächstes Thema.jpg