Kurs:Analysis/Teil I/28/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	${}\sum$
Punkte	3	3	4	4	4	3	4	6	4	4	10	5	5	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (4 (2+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Folgende Aussagen seien bekannt.

1. Der frühe Vogel fängt den Wurm.
2. Doro wird nicht von Lilly gefangen.
3. Lilly ist ein Vogel oder ein Igel.
4. Für Igel ist 5 Uhr am Morgen spät.
5. Doro ist ein Wurm.
6. Für Vögel ist 5 Uhr am Morgen früh.
7. Lilly schläft bis 5 Uhr am Morgen und ist ab 5 Uhr unterwegs.

Beantworte folgende Fragen.

1. Ist Lilly ein Vogel oder ein Igel?
2. Ist sie ein frühes oder ein spätes Tier?
3. Fängt der späte Igel den Wurm?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass für positive natürliche Zahlen ${}a,n,k$ die Beziehung

${}a^{(n^{k})}=\underbrace {{\left({\left(\ldots {\left({\left(a^{n}\right)}^{n}\right)}^{n}\ldots \right)}^{n}\right)}^{n}} _{k{\text{ Potenzierungen}}}\,$

gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise durch Induktion die Simpson-Formel oder Simpson-Identität für die Fibonacci-Zahlen ${}f_{n}$. Sie besagt (für $n\geq 2$)

${}f_{n+1}f_{n-1}-f_{n}^{2}=(-1)^{n}\,.$

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Für die Eulersche Zahl ${}e$ seien die Abschätzungen

${}2,71\leq e\leq 2,72\,$

bekannt.

1. Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von ${}e^{2}$ sagen?
2. Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von ${}e^{-1}$ sagen?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien die beiden komplexen Polynome

$P=X^{3}-2{\mathrm {i} }X^{2}+4X-1\,\,{\text{ und }}\,\,Q={\mathrm {i} }X-3+2{\mathrm {i} }$

gegeben. Berechne ${}P(Q)$ (es soll also ${}Q$ in ${}P$ eingesetzt werden).

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Zwischenwertsatz.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde eine reelle Lösung für die Gleichung

${}3^{x}-{\sqrt {3}}^{x+4}+20=0\,$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Extrema der Funktion

$f\colon [-1,0]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\sqrt {x^{3}-x}}.$

Aufgabe * (10 (1+2+3+4) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R}$

mit

${}f(x)=e^{x}-x^{e}\,.$

1. Bestimme die erste und die zweite Ableitung von ${}f$.
2. Bestimme die Taylor-Entwicklung von ${}f$ im Punkt ${}e$ vom Grad ${}\leq 2$.
3. Bestimme die Nullstellen von ${}f$.
4. Bestimme die lokalen Extrema von ${}f$.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Mittelwertsatz der Integralrechnung.

Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Standardparabel, also den Graphen zur Funktion

${}f(x)=x^{2}\,.$

1. Für welche reelle Zahl ${}c\geq 0$ ist der Flächeninhalt der durch die ${}x$-Achse, die Parabel und die durch ${}x=c$ bestimmte vertikale Gerade eingeschränkte Fläche gleich ${}17$? Skizziere die Situation.
2. Für welche reelle Zahl ${}d\geq 0$ ist der Flächeninhalt der durch die Parabel und die durch ${}y=d$ bestimmte horizontale Gerade eingeschränkte Fläche gleich ${}13$? Skizziere die Situation.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise das Lösungsverfahren für inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen in einer Variablen.