Kurs:Analysis/Teil I/46/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	1	3	3	4	4	1	3	4	5	3	2	6	5	2	3	3	3	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen
$F\colon L\longrightarrow M$

und

$G\colon M\longrightarrow N.$
Eine Gruppe.
Das Infimum einer nichtleeren Teilmenge ${}M\subseteq K$ in einem angeordneten Körper ${}K$ .
Das Minimum der Funktion
$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

wird im Punkt ${}x\in M$ angenommen.
Das Taylor-Polynom vom Grad ${}n$ zu einer ${}n$ -mal differenzierbaren Funktion
$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

im Entwicklungspunkt ${}a\in {\mathbb {C} }$ .
Das bestimmte Integral zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Das Quetschkriterium für Folgen in einem angeordneten Körper ${}K$ .
Der Zwischenwertsatz.
Der Satz über partielle Integration.

Aufgabe * (1 Punkt)

In der Klasse ist es sehr laut. Frau Maier-Sengupta sagt „Bitte nicht gleichzeitig sprechen“. Bringe diese Aussage mit dem Konzept von disjunkten Mengen in Verbindung.

Aufgabe * (3 Punkte)

Wir fassen die Lösung eines Sudokus (unabhängig von Zahlenvorgaben) als eine Abbildung

\{1,2,\ldots ,9\}\times \{1,2,\ldots ,9\}\longrightarrow \{1,2,\ldots ,9\},\,(i,j)\longmapsto a_{i,j},

auf. Charakterisiere mit dem Begriff der Bijektivität, dass eine korrekte Lösung vorliegt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Professor Knopfloch muss mal wieder Geschirr abwaschen. Bekanntlich wird die Spülgeschwindigkeit durch die internationale Maßeinheit „ein Spüli“ ausgedrückt. Ein Spüli liegt vor, wenn man einen Quadratmeter Geschirroberfläche pro Sekunde spült. Professor Knopflochs Spülgeschwindigkeit beträgt ${}0,005$ Spülies. Er muss ${}10$ große Teller mit einem Durchmesser von ${}30$ Zentimetern, ${}6$ kleine Teller mit einem Durchmesser von ${}20$ Zentimetern und ${}4$ zylinderförmige Becher, die ${}10$ Zentimeter hoch sind und einen Durchmesser von ${}6$ Zentimetern besitzen, spülen. Wie lange braucht er für den reinen Abwasch (man ignoriere die Dicke des Geschirrs)?

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige

{}\prod _{k=2}^{n}{\left(1-{\frac {1}{k^{2}}}\right)}={\frac {n+1}{2n}}\,

durch vollständige Induktion ( ${}n\geq 2$ ).

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Formel

{}2^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\,

durch Induktion nach ${}n$ .

Aufgabe * (1 Punkt)

Finde eine natürliche Zahl ${}n$ derart, dass

{}{\left({\frac {8}{7}}\right)}^{n}\geq 1000\,

ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

{}x_{n}={\frac {7n^{4}-2n^{2}+5}{4n^{4}-5n^{3}+n-6}}\,

in ${}\mathbb {Q}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz, dass der Limes einer konvergenten Folge in einem angeordneten Körper eindeutig bestimmt ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Berechne

{\left(x-{\frac {{\sqrt {3}}+1}{4}}\right)}^{2}{\left(x-{\frac {-{\sqrt {3}}+1}{4}}\right)}^{2}-{\frac {1}{8}}x-{\frac {1}{64}}.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne

5^{\frac {2}{3}}

bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{10}}$ .

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}-5x-9.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Zwischenwertsatz.

Aufgabe * (5 Punkte)

Frau Dr. Eisenbeis möchte für ihre Neffen Richy und Franky eine Fahrrad-Sprungrampe basteln. Die Steigung soll entlang eines Kreissegmentes der Länge (alle Angaben in Meter) ${}\ell =1,2$ verlaufen und eine Sprunghöhe von ${}h=0,2$ erreichen (siehe Bild). Welche (implizite) Bedingung muss der Winkel ${}\alpha$ erfüllen (die Bedingung muss so sein, dass sie mit einer Intervallhalbierung gelöst werden könnte, diese muss aber nicht durchgeführt werden)?