Kurs:Analysis/Teil I/Test 2/Klausur

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 3 4 4 3 7 3 4 5 4 4 4 4 6 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die absolute Konvergenz einer Reihe.
  2. Eine rationale Funktion über einem Körper .
  3. Ein Berührpunkt einer Menge .
  4. Die gleichmäßige Stetigkeit einer Funktion

    auf einer Teilmenge .

  5. Der Konvergenzradius einer komplexen Potenzreihe
  6. Die Differenzierbarkeit in einem Punkt einer Abbildung .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms .
  2. Der Zwischenwertsatz.
  3. Der Entwicklungssatz für Potenzreihen (die Koeffizienten der umentwickelten Potenzreihe müssen nicht angegeben werden).


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die harmonische Reihe divergiert.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Reihe

für jedes absolut konvergiert.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien die beiden komplexen Polynome

gegeben. Berechne (es soll also in eingesetzt werden).


Aufgabe * (3 Punkte)

Es ist . Gibt es neben der weitere natürliche (ganze, reelle, komplexe) Zahlen , die die Gleichung

erfüllen?


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt .


Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Bestimme, ausgehend vom Intervall , mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge , in dem eine Nullstelle von liegen muss.


Aufgabe * (4 Punkte)

Finde eine reelle Lösung für die Gleichung


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Funktionalgleichung für die komplexe Exponentialfunktion.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien

periodische Funktionen mit den Periodenlängen bzw. . Der Quotient sei eine rationale Zahl. Zeige, dass auch eine periodische Funktion ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen mit Hilfe der linearen Approximierbarkeit.


Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Zeige durch Induktion, dass die -te Ableitung () von gleich

ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei . Bestimme die Extrema von


Aufgabe * (6 (4+2) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Zeige, dass eine stetige Bijektion zwischen und definiert.

b) Bestimme das Urbild von unter sowie und . Fertige eine grobe Skizze für die Umkehrfunktion an.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Folge