Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 14/latex

\setcounter{section}{14}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das Bild eines abgeschlossenen Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht abgeschlossen sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} eines \definitionsverweis {offenen Intervalls}{}{} unter einer \definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{} nicht offen sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das Bild eines beschränkten Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht beschränkt sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $I$ ein reelles Intervall und \maabbdisp {f} {I} {\R } {,} eine stetige, injektive Funktion. Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {streng wachsend}{}{} oder streng fallend ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) } {,} eine \definitionsverweis {Polynomfunktion}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $\geq 2$. Zeige, dass $f$ nicht \definitionsverweis {gleichmäßig stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\Q} {\R } {} mit
\mathdisp {f(x)= \begin{cases} 0\, , \text{ falls } x < \sqrt{2} \, , \\ 1\, , \text{ falls } x > \sqrt{2} \, , \end{cases}} { }
\definitionsverweis {stetig}{}{,} aber nicht \definitionsverweis {gleichmäßig stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Zeige, dass es eine \definitionsverweis {stetige Fortsetzung}{}{} \maabbdisp {\tilde{f}} {\R} {\R } {} von $f$ gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {gleichmäßig stetigen}{}{} \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\Q} {\Q } {} derart, dass keine \definitionsverweis {stetige Fortsetzung}{}{} \maabbdisp {\tilde{f}} {\R} {\Q } {} existiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {]0,1[} { \R } {,} derart, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $f$ \definitionsverweis {beschränkt}{}{} ist und $f$ nicht \definitionsverweis {gleichmäßig stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $b$ eine positive reelle Zahl und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ = }{ n/m }
{ \in }{ \Q }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b^q }
{ \defeq} { { \left( b^n \right) }^{1/m} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definierte Zahl unabhängig von der Bruchdarstellung für $q$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $b$ eine \definitionsverweis {positive}{}{} \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\Q} {\R } {q} {b^q } {,} folgende Eigenschaften besitzt. \aufzaehlungacht{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b^{q+q'} }
{ = }{ b^q \cdot b^{q'} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q,q' }
{ \in }{ \Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b^{-q} }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ b^q } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ > }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b^q }
{ > }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ < }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b^q }
{ < }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ > }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist $f$ \definitionsverweis {streng wachsend}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ < }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist $f$ \definitionsverweis {streng fallend}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (b^{q})^{q'} }
{ = }{ b^{ q \cdot q'} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q,q' }
{ \in }{ \Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{\R_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (ab)^q }
{ = }{ a^q \cdot b^q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.} Zeige, dass die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt[k]{b} }
{ =} { b^{1/k} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definierte \definitionsverweis {Folge}{}{} gegen $1$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Führe die Details im Beweis zu Lemma 14.9 für den Fall
\mathl{b <1}{} aus.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $b$ eine \definitionsverweis {positive}{}{} \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {b^x } {,} folgende Eigenschaften besitzt. \aufzaehlungacht{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b^{x+x'} }
{ = }{ b^x \cdot b^{x'} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,x' }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b^{-x} }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ b^x } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ > }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b^x }
{ > }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ < }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b^x }
{ < }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ > }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist $f$ \definitionsverweis {streng wachsend}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ < }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist $f$ \definitionsverweis {streng fallend}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (b^{x})^{x'} }
{ = }{ b^{ x \cdot x'} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,x' }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{ \R_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (ab)^x }
{ = }{ a^x \cdot b^x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}

Es sei
\mathl{[a,b]}{} ein reelles Intervall und es sei eine Unterteilung
\mathdisp {a=x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{k-1} < x_k=b} { }
und Werte
\mathl{y_0,y_1,y_2 , \ldots ,y_{k-1}, y_k \in \R}{} gegeben. Unter der zugehörigen (stückweise) \definitionswort {linearen Interpolation}{} versteht man die Abbildung \maabbeledisp {g} {[a,b]} {\R } {x} { g(x) } {,} die auf jedem Teilintervall
\mathl{[x_i,x_{i+1}]}{} durch die affin-lineare Funktion gegeben ist, deren Graph die Punkte
\mathl{(x_i,y_i)}{} und
\mathl{(x_{i+1},y_{i+1})}{} durch eine gerade Strecke verbindet.

Diese Konstruktion kommt insbesondere dann zum Zuge, wenn eine gegebene Funktion \maabbeledisp {f} {[a,b]} {\R } {x} { f(x) } {,} approximiert werden soll, wobei die Unterteilung gegeben ist und man
\mathl{y_i=f(x_i)}{} nimmt.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{[a,b]}{} ein reelles Intervall und es sei eine Unterteilung
\mathdisp {a=x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{k-1} < x_k=b} { }
und Werte
\mathl{y_0,y_1,y_2 , \ldots ,y_{k-1}, y_k \in \R}{} gegeben. Beschreibe die zugehörige lineare Interpolation durch funktionale Ausdrücke und zeige, dass es sich um eine stetige Funktion handelt.

}
{} {}


\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} $\neq 0$, die die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x+y) }
{ =} { f(x) \cdot f(y) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle $x,y \in \R$ erfüllt. Zeige, dass $f$ eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein $b>0$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{b^x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

In den folgenden Aufgaben bedeutet
\mathl{C^0 ( T , {\mathbb K})}{} die Menge der stetigen Funktionen von $T$ nach ${\mathbb K}$ (für eine Teilmenge
\mathl{T\subseteq {\mathbb K}}{}) und $B \left( P,b \right)$ den abgeschlossenen Vollkreis in ${\mathbb C}$ mit Mittelpunkt $P$ und Radius $b$ (die Randpunkte gehören also dazu).

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\Psi} {C^0(\R,\R) } {C^0(\Q,\R) } {f} { f{{|}}_\Q } {,} eine stetige Funktion wird also auf ihre Einschränkung auf $\Q$ abgebildet. Zeige, dass $\Psi$ injektiv, aber nicht surjektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {stetige}{}{} \definitionsverweis {unbeschränkte}{}{} \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {[0,2[} {\R } {.} Zeige, dass eine solche Funktion keine \definitionsverweis {stetige Fortsetzung}{}{} auf $[0,2]$ besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $P\in {\mathbb C}$, $b \in \R_+$ und \maabbdisp {f} { B \left( P,b \right) } {{\mathbb C} } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Zeige, dass es eine \definitionsverweis {stetige Fortsetzung}{}{} \maabbdisp {\tilde{f}} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {} von $f$ gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei
\mathl{[a,b]}{} ein reelles Intervall und \maabbeledisp {f} {[a,b]} {\R } {x} {f(x) } {,} eine Funktion. Zeige, dass $f$ genau dann stetig ist, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem
\mathl{\epsilon > 0}{} gibt es eine Unterteilung
\mathdisp {a=x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{k-1} < x_k=b} { }
derart, dass die lineare Interpolation $g$ \zusatzklammer {zu dieser Unterteilung und zu
\mathl{f}{}} {} {} die Eigenschaft
\mathdisp {\betrag { f(x) -g(x) } \leq \epsilon \text{ für alle } x \in [a,b]} { }
erfüllt.

}
{(Bemerkung: Die vorstehende Aufgabe kann man so interpretieren, dass eine Funktion genau dann stetig ist, wenn man mit einem beliebig dünnen (gemessen in vertikaler Richtung) Stift den Funktionsgraphen durch zusammenhängende (endlich viele, nicht vertikale) Geradenstücke übermalen kann.)} {}