- Übungsaufgaben
Zeige, dass das Bild eines abgeschlossenen Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht abgeschlossen sein muss.
Zeige, dass das Bild eines offenen Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht offen sein muss.
Zeige, dass das Bild eines beschränkten Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht beschränkt sein muss.
Es sei
ein reelles Intervall und
-
eine stetige, injektive Funktion. Zeige, dass
streng wachsend
oder streng fallend ist.
Es sei
-
eine
Polynomfunktion
vom
Grad
. Zeige, dass
nicht
gleichmäßig stetig
ist.
Zeige, dass die
Funktion
-
mit
-
stetig,
aber nicht
gleichmäßig stetig
ist.
Es sei
-
eine
stetige Funktion.
Zeige, dass es eine
stetige Fortsetzung
-
von
gibt.
Man gebe ein Beispiel einer
gleichmäßig stetigen Funktion
-
derart, dass keine
stetige Fortsetzung
-
existiert.
Es sei
eine
positive
reelle Zahl.
Zeige, dass die
Funktion
-
folgende Eigenschaften besitzt.
- Es ist
für alle
.
- Es ist
.
- Für
und
ist
.
- Für
und
ist
.
- Für
ist
streng wachsend.
- Für
ist
streng fallend.
- Es ist
für alle
.
- Für
ist
.
Sei
eine
reelle Zahl.
Zeige, dass die durch
-
![{\displaystyle {}{\sqrt[{k}]{b}}=b^{1/k}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bbdae485761ef01fea3cf24dd3c4444274a7a10)
definierte
Folge
gegen
konvergiert.
Führe die Details im Beweis zu
Lemma 14.9
für den Fall
aus.
Es sei
eine
positive
reelle Zahl.
Zeige, dass die
Exponentialfunktion
-
folgende Eigenschaften besitzt.
- Es ist
für alle
.
- Es ist
.
- Für
und
ist
.
- Für
und
ist
.
- Für
ist
streng wachsend.
- Für
ist
streng fallend.
- Es ist
für alle
.
- Für
ist
.
Es sei
ein reelles Intervall und es sei eine Unterteilung
-
und Werte
gegeben. Unter der zugehörigen (stückweise) linearen Interpolation versteht man die Abbildung
-
die auf jedem Teilintervall
durch die affin-lineare Funktion gegeben ist, deren Graph die Punkte
und
durch eine gerade Strecke verbindet.
Diese Konstruktion kommt insbesondere dann zum Zuge, wenn eine gegebene Funktion
-
approximiert werden soll, wobei die Unterteilung gegeben ist und man
nimmt.
Es sei
ein reelles Intervall und es sei eine Unterteilung
-
und Werte
gegeben. Beschreibe die zugehörige lineare Interpolation durch funktionale Ausdrücke und zeige, dass es sich um eine stetige Funktion handelt.
In den folgenden Aufgaben bedeutet
die Menge der stetigen Funktionen von
nach
(für eine Teilmenge
) und
den abgeschlossenen Vollkreis in
mit Mittelpunkt
und Radius
(die Randpunkte gehören also dazu).
- Aufgaben zum Abgeben
Wir betrachten die Abbildung
-
eine stetige Funktion wird also auf ihre Einschränkung auf
abgebildet. Zeige, dass
injektiv, aber nicht surjektiv ist.
Man gebe ein Beispiel für eine
stetige unbeschränkte
Funktion
-
Zeige, dass eine solche Funktion keine
stetige Fortsetzung
auf
besitzt.
Es sei
ein reelles Intervall und
-
eine Funktion. Zeige, dass
genau dann stetig ist, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem
gibt es eine Unterteilung
-
derart, dass die lineare Interpolation
(zu dieser Unterteilung und zu
)
die Eigenschaft
-
erfüllt.
(Bemerkung: Die vorstehende Aufgabe kann man so interpretieren, dass eine Funktion genau dann stetig ist, wenn man mit einem beliebig dünnen (gemessen in vertikaler Richtung) Stift den Funktionsgraphen durch zusammenhängende (endlich viele, nicht vertikale) Geradenstücke übermalen kann.)